在平面直角坐標(biāo)系xoy(O為坐標(biāo)原點(diǎn))中,橢圓E1
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)在圓E2:x2+y2=a+b上,且橢圓的離心率是
3
2

(Ⅰ)求橢圓E1和圓E2的方程;
(Ⅱ)是否存在經(jīng)過圓E2上的一點(diǎn)P(x0,y0)的直線l,使l與圓E2相切,與橢圓E1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B,且
OA
OB
=3?若存在,求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x0的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(Ⅰ)根據(jù)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)在圓E2:x2+y2=a+b上,且橢圓的離心率是
3
2
,建立方程,即可求得橢圓E1和圓E2的方程;
(Ⅱ)假設(shè)滿足條件的直線l存在,由l于為x2+y2=3相切于點(diǎn)P(x0,y0),可得直線l的方程為x0x+y0y=3,分類討論,利用
OA
OB
=3,即可得到結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)由題意,a2-b2=a+b,
a2-b2
a
=
3
2

∴a=2,b=1
∴橢圓E1的方程為
x2
4
+y2=1
,圓E2的方程為x2+y2=3;
(Ⅱ)假設(shè)滿足條件的直線l存在,由l于為x2+y2=3相切于點(diǎn)P(x0,y0),可得直線l的方程為x0x+y0y=3
當(dāng)y0=0時(shí),
OA
OB
=
11
4
≠3,不合題意;
當(dāng)y0≠0時(shí),與橢圓方程聯(lián)立,結(jié)合x02+y02=3,可得3(1+
x
2
0
)x2-24x0x+4
x
2
0
+24=0
(-24x0)2-12(1+
x
2
0
)(4
x
2
0
+24)>0
∴2<
x
2
0
<3
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=
8x0
1
+x
2
0
,x1x2=
24+4x02
3(1
+x
2
0
)

OA
OB
=x1x2+y1y2=
11
1
+x
2
0

OA
OB
=3,∴
11
1
+x
2
0
=3
x
2
0
=
8
3

∵2<
x
2
0
<3,
∴存在直線l,此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0
2
6
3
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與圓、橢圓的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,動(dòng)點(diǎn)M為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)(異于右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)),設(shè)線段FM交橢圓C于點(diǎn)P,已知橢圓C的離心率為
2
3
,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
9
2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線PA的斜率為k1,直線MA的斜率為k2,求k1•k2的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為
x=2cosθ
y=2sinθ
(θ為參數(shù)),直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,1),傾斜角α=
π
6
,
(1)寫出直線l的參數(shù)方程;
(2)設(shè)l與圓圓C相交與兩點(diǎn)A,B,求點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)的距離之積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C:x2+y2=4分別交x軸正半軸及y軸負(fù)半軸于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)P為圓C上任意一點(diǎn),則
PM
PN
的最大值為
4+4
2
4+4
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)M(0,3),直線l:x+y-4=0,點(diǎn)N(x,y)是圓C:x2+y2-2x-1=0上的動(dòng)點(diǎn),MA⊥l,NB⊥l,垂足分別為A、B,則線段AB的最大值為
3
2
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F.設(shè)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),則
MO
MF
的最大值為
2
3
3
2
3
3

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