Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²-3x（x∈R）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線達(dá)到斜率的最小值．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及函數(shù)f（x）在A（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x²-2ax-3=（x-a）²-a²-3，再根據(jù)f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線達(dá)到斜率的最小值可得a=1，則函數(shù)解析式可求，進(jìn)一步求得f（1）與f′（1），則f（x）在A（1，f（1））處的切線方程可求；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，利用導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的極值．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=

1

3

x³-ax²-3x，得f′（x）=x²-2ax-3=（x-a）²-a²-3，
∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²-3x（x∈R）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線達(dá)到斜率的最小值，
則a=1，
∴f（x）=

1

3

x³-x²-3x；
此時(shí)f(1)=

1

3

-1-3=-

11

3

，f′（1）=-4，
∴函數(shù)f（x）在A（1，f（1））處的切線方程為y+

11

3

=-4(x-1)，即12x+3y-1=0；
（Ⅱ）由f（x）=

1

3

x³-x²-3x，得f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
當(dāng)x∈（-∞，-1），（3，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（-1，3）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為∈（-∞，-1），（3，+∞）；減區(qū)間為（-1，3）；
當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）有極大值為f（-1）=

1

3

×(-1)3-(-1)2-3×(-1)=

5

3

；
當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值為f（3）=

1

3

×33-32-3×3=-9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了函數(shù)極值的求法，是中檔題．