Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，2a_n=a_n-1 +1（n≥2）．
（1）計(jì)算a₂，a₃，a₄
（2）由{a_n}的前4項(xiàng)猜想通項(xiàng)公式a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）依題意，由a₁=

1

2

，2a_n=a_n-1 +1（n≥2），即可求得a₂，a₃，a₄；
（2）通過（1）可猜想a_n=1-

1

2n

，用數(shù)學(xué)歸納法證明，先證當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立，再假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立即可．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，2a_n=a_n-1 +1（n≥2），
∴2a₂=a₁+1=

3

2

，∴a₂=

3

4

．
同理a₃=

7

8

，a₄=

15

16

；
（2）猜想通項(xiàng)公式a_n=1-

1

2n

，證明如下：
①n=1時(shí)，結(jié)論成立；
②設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即a_k=1-

1

2k

，
則n=k+1時(shí)，2a_k+1=a_k+1=2-

1

2k

，∴a_k+1=1-

1

2k-1

，
即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
由①②可知a_n=1-

1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推式，考查歸納猜想，著重考查數(shù)學(xué)歸納法，考查推理與證明，屬于中檔題．