【題目】已知點(1,e),(e,)在橢圓上C:1(a>b>0),其中e為橢圓的離心率.
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l經(jīng)過C的上頂點且l與拋物線M:y2=4x交于P,Q兩點,F為橢圓的左焦點,直線FP,FQ與M分別交于點D(異于點P),E(異于點Q),證明:直線DE的斜率為定值.
【答案】(1)y2=1;(2)證明見解析
【解析】
(1)由橢圓過兩個點及e與a,b,c之間的關(guān)系求出a,b的值,進而求出橢圓的方程;
(2)由題意可得直線l的斜率存在且不為0,設(shè)直線PF的方程與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積,可得點D的坐標(biāo),同理可得E的坐標(biāo),求出直線DE的斜率可得為定值.
解:(1)由題意可得解得:a2=2,b2=1,
所以橢圓的方程為:y2=1;
(2)證明:由題意可得直線l的斜率存在且不為0,設(shè)直線l的方程為:y=kx+1,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
聯(lián)立直線l與拋物線的方程,整理可得:y2﹣y+1=0,△=1﹣k>0即k<1,且k≠0,
y1+y2,y1y2,
由(1)可得左焦點F(﹣1,0),所以直線FP的方程為:y(x+1),
聯(lián)立直線PF與拋物線的方程:整理可得:y2y+4=0,所以y1yD=4,所以yD,
所以D的坐標(biāo)(,),
同理可得:E的坐標(biāo)(,),
所以kDE1,
所以可證得直線DE的斜率為定值1.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是.
(1)寫出直線的極坐標(biāo)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點是曲線上的動點,求到直線距離的最小值,并求出此時點坐標(biāo).
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線l過A,B兩點,且這兩點的極坐標(biāo)分別為.
(I)求C的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(II)若M為曲線C上一動點,求點M到直線l的最小距離.
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【題目】已知拋物線的焦點為,過點的直線交拋物線于和兩點.
(1)當(dāng)時,求直線的方程;
(2)若過點且垂直于直線的直線與拋物線交于、兩點,記與的面積分別為與,求的最小值.
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【題目】已知正方體的棱長為為的中點,下列說法中正確的是( )
A.與所成的角大于
B.點到平面的距離為1
C.三棱錐的外接球的表面積為
D.直線與平面所成的角為
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,,平面底面,且,,分別為,的中點.
(1)求證:平面;
(2)求證:平面平面;
(3)求三棱錐的體積.
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