Question

線段|BC|=4，BC中點(diǎn)為M，點(diǎn)A與B，C兩點(diǎn)的距離之和為6，設(shè)|AM|=y，|AB|=x．
（1）求y=f（x）的函數(shù)表達(dá)式及函數(shù)的定義域；
（2）試求y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先看A，B，C不共線時(shí)，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可求得2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²，進(jìn)而利用兩點(diǎn)間的距離公式代入等式中求得x和y的關(guān)系式，再看A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，|AB|+|AC|=6＞|BC|推斷出A在線段BC外側(cè)，利用|6-x-x|=4求得x的值，代入2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²也符合，最后綜合可得函數(shù)f（x）的解析式，利用根號大于等于0的性質(zhì)求得x的范圍即函數(shù)的定義域．
（2）把（1）函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的定義求得y的最大和最小值．

解答：解：（1）當(dāng)A、B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，由三角形中線性質(zhì)知2（|BM|²+|AM|²）=|AB|2+|AC|2?2(22+y2)=x2+(6-x)2?

y2=5+(x-3)2 又y≥0

?y=

(x-3)2+5

；
當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，由|AB|+|AC|=6＞|BC|=4?A在線段BC外側(cè)，
由|6-x-x|=4?x=1或x=5，因此，當(dāng)x=1或x=5時(shí)，有|AB|+|AC|=6，
同時(shí)也滿足：2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²．當(dāng)A、B、C不共線時(shí)，||AB|-|AC||＜|BC|=4?1＜x＜5?y=f(x)=

(x-3)2+5

定義域?yàn)閇1，5]．
（2）由y=

(x-3)2+5

且x∈[1，5]，
∴當(dāng)x=3時(shí)，ymin=

5

．當(dāng)x=1或5時(shí)，ymax=

22+5

=3．
∴y的取值范圍為[

5

，3]．

點(diǎn)評：本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，函數(shù)思想的運(yùn)用，二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論的思想的運(yùn)用．綜合考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．