已知動點P(x,y)到點F(0,1)與到直線y=-1的距離相等,
(1)求點P的軌跡L的方程;
(2) 若正方形ABCD的三個頂點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1<0≤x2<x3)在(1)中的曲線L上,設(shè)BC的斜率為k,l=|BC|,求l關(guān)于k的函數(shù)解析式l=f(k);
(3)求(2)中正方形ABCD面積S的最小值.
分析:(1)利用拋物線的定義得到點P的軌跡是拋物線;利用拋物線的方程寫出軌跡方程.
(2)利用直線方程的點斜式設(shè)出直線AB,BC,將兩直線方程分別于拋物線聯(lián)立;利用韋達(dá)定理及弦長公式表示出AB,BC;由正方形的邊長相等,得到斜率與坐標(biāo)的關(guān)系,代入BC中,得到函數(shù)解析式l=f(k).
(3)求面積的最小值即求BC的最小值,利用基本不等式求出正方形邊長的最小值.
解答:解:(1)由題設(shè)可得動點P的軌跡方程為x2=4y.(4分)
(2)由(1),可設(shè)直線BC的方程為:y=k(x-x2)+
x
2
2
4
(k>0),
y=k(x-x2)+
x
2
2
4
x2=4y
,
易知x2、x3為該方程的兩個根,故有x2+x3=4k,得x3=4k-x2,
從而得|BC|=
1+k2
(x3-x2)=2
1+k2
(2k-x2)
(6分)
類似地,可設(shè)直線AB的方程為:y=-
1
k
(x-x2)+
x
2
2
4
,
從而得|AB|=
2
1+k2
k2
(2+kx2)
,(8分)
由|AB|=|BC|,得k2•(2k-x2)=(2+kx2),
解得x2=
2(k3-1)
k2+k
,l=f(k)=
4
1+k2
(k2+1)
k(k+1)
(k>0).(10分)
(3)因為l=f(k)=
4
1+k2
(k2+1)
k(k+1)
4•
(1+k)2
2
•2k
k(k+1)
=4
2
,(12分)
所以S=l2≥32,即S的最小值為32,
當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取得最小值.(14分)
點評:本題考查求曲線軌跡方程的常用方法:定義法;考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系常用的處理方法是將方程聯(lián)立用韋達(dá)定理,考查直線與圓錐曲線相交得到的弦長公式;利用基本不等式求函數(shù)最值需滿足:一正、二定、三相等.
練習(xí)冊系列答案
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已知動點P(x,y)到原點的距離的平方與它到直線l:x=m(m是常數(shù))的距離相等.
(1)求動點P的軌跡方程C;
(2)就m的不同取值討論方程C的圖形.

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已知動點P(x,y)滿足,
x2+y2-4x+6y+13
+
x2+y2+6x+4y+13
=
26
,則
y-1
x-3
取值范圍( 。

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已知動點P(x,y)與兩定點M(-1,0),N(1,0)連線的斜率之積等于常數(shù)λ(λ≠0).
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(II) 試根據(jù)λ的取值情況討論軌跡C的形狀.

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已知動點P(x,y)滿足
(x+2)2+y2
-
(x-2)2+y2
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雙曲線的一支(右支)
雙曲線的一支(右支)

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已知動點P(x,y)在橢圓C:
x2
25
+
y2
16
=1上,F(xiàn)為橢圓C的右焦點,若點M滿足|
MF
|=1且
MP
MF
=0,則|
PM
|的最小值為( 。
A、
3
B、3
C、
12
5
D、1

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