【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù),
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)設(shè)關(guān)于x的方程f(4x﹣b)+f(﹣2x+1)=0有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù),

∴f(﹣x)= = =﹣f(x)=﹣

∴a=1


(2)解:由(1)可知f(x)= =﹣1+

由上式易知f(x)在(﹣∞,+∞)上為減函數(shù),

又∵f(x)是奇函數(shù),

從而不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0等價(jià)于f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(﹣2t2+k),

∵f(x)是減函數(shù),由上式推得t2﹣2t>﹣2t2+k,

即對(duì)一切t∈R有3t2﹣2t﹣k>0,

從而判別式△=4+12k<0,解得k<﹣


(3)解:∵f(x)是奇函數(shù),

∴f(4x﹣b)+f(﹣2x+1)=0,

∴f(4x﹣b)=f(2x+1),

∴4x﹣b=2x+1

∴b=4x﹣2x+1,

∵4x﹣2x+1=(2x2﹣2×2x=(2x﹣1)2﹣1≥﹣1,

∴當(dāng)b∈[﹣1,+∞)時(shí)方程有實(shí)數(shù)解


【解析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出,(2)根據(jù)奇函數(shù)的定義將不等式化為:f(t2﹣2t)<f(﹣2t2+k),再分離函數(shù)解析式,利用指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷出此函數(shù)的單調(diào)性,再列出關(guān)于x的不等式,由題意轉(zhuǎn)化為:3t2﹣2t﹣k>0恒成立,利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出等價(jià)不等式求解.(3)先將原方程變?yōu)閎=4x﹣2x+1 , 再利用整體思想將2x看成整體,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)(在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個(gè)為偶就為偶,兩個(gè)為奇才為奇).

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(2)問這30天內(nèi),哪天的銷售額最大,最大是多少?(銷售額=銷售價(jià)格×銷售量)

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