Question

16、對于四面體ABCD，給出下列四個命題
①若AB=AC，BD=CD，則BC⊥AD；
②若AB=CD，AC=BD，則BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；
④若AB⊥CD，BD⊥AC，則BC⊥AD．
其中真命題的序號是

①④

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：證明線線垂直一般采用線面垂直來證線線垂直．①的證明可轉(zhuǎn)借化證明BC⊥面AHD．④的證明可轉(zhuǎn)化為證垂心，然后再證明BC⊥面AED來證明BC⊥AD．②③條件下不能求出兩線的夾角，也無法保證一個線垂直于另一個線所在的平面，故不對．

解答：證明：如圖
對于①取BC的中點(diǎn)H，連接AH與DH，可證得BC⊥面AHD，進(jìn)而可得BC⊥AD，故①對；
對于②條件不足備，證明不出結(jié)論；
對于③條件不足備，證明不出結(jié)論；
對于④作AE⊥面BCD于E，連接BE可得BE⊥CD，同理可得CE⊥BD，證得E 是垂心，則可得得出DE⊥BC，進(jìn)而可證得BC⊥面AED，即可證出BC⊥AD．
綜上知①④正確，故應(yīng)填①④．

點(diǎn)評：本題在判斷時有一定的難度，需要構(gòu)造相關(guān)的圖形，在立體幾何中，構(gòu)造法是一個常 用的方法，本題用其來將線線證明轉(zhuǎn)化線面證明，