Question

在△ABC中，已知

AB

•

AC

=9，sinB=cosA•sinC，S_△ABC=6，P為線段AB上的點，且

CP

=x•

CA

| CA |

+y•

CB

| CB |

，則xy的最大值為

3

．

Answer 1

分析：由條件求得bccosA=9，

1

2

bcsinA=6，tanA=

4

3

，可得c=5，b=3，a=4，以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）．設(shè)

CA

| CA |

=

e1

，

CB

| CB |

=

e2

，則

CP

=（x，y），可得x=3λ，y=4-4λ則4x+3y=12，利用基本不等式求解最大值．

解答：解：△ABC中，設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，∵sinB=cosA•sinC，sin（A+C）=sinCcosnA，
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA．
∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0，C=90°．
∵

AB

•

AC

=9，S_△ABC=6，∴bccosA=9，

1

2

bcsinA=6，∴tanA=

4

3

．
根據(jù)直角三角形可得sinA=

4

5

，cosA=

3

5

，bc=15，∴c=5，b=3，a=4．
以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）．
P為線段AB上的一點，則存在實數(shù)λ使得

CP

=λ

CA

+（1-λ）

CB

=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）．
設(shè)

CA

| CA |

=

e1

，

CB

| CB |

=

e2

，則|

e1

|=|

e2

|=1，且

e1

=（1，0），

e2

=（0，1）．
∴

CP

=x•

CA

| CA |

+y•

CB

| CB |

=（x，0）+（0，y）=（x，y），可得x=3λ，y=4-4λ則4x+3y=12，
12=4x+3y≥2

12xy

，解得xy≤3，
故所求的xy最大值為：3．
故答案為 3．

點評：本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關(guān)鍵是理解把已知所給的

CA

| CA |

是一個單位向量，從而可用x，y表示

CP

，建立x，y與λ的關(guān)系，解決本題的第二個關(guān)鍵點在于由x=3λ，y=4-4λ發(fā)現(xiàn)4x+3y=12為定值，從而考慮利用基本不等式求解最大值，屬于中檔題．