Question

（2010•天津模擬）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)(-

2

，1)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

5

，過(guò)點(diǎn)C（-1，0）且斜率為k的直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-

1

2

，求直線l的斜率；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

5

，知a=

5

，再由橢圓過(guò)點(diǎn)（-

2

，1），求得b²=

5

3

，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線方程為y=k（x+1）由

x2+3y2=5 y=k(x+1)

得：(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-

1

2

，能求出直線l的斜率．
（3）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M（m，0），使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，由

x2+3y2=5 y=k(x+1)

得：(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0，再由韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積公式能推導(dǎo)出在x軸上存在點(diǎn)M（

1

6

，0），使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)．

解答：解：（1）∵橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

5

，∴2a=2

5

，∴a=

5

又∵橢圓過(guò)點(diǎn)（-

2

，1），代入橢圓方程得

(- 2 )2

5

+

1

b2

=1，∴b²=

5

3

∴橢圓方程為

x2

5

+

y2

5 3

=1，
即x²+3y²=5…（3分）
（2）∵直線l過(guò)點(diǎn)C（-1，0）且斜率為k，
設(shè)直線方程為y=k（x+1）
由

x2+3y2=5 y=k(x+1)

得：(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-

1

2

，
則x₁+x₂=2×（-

1

2

）=-1，
即x₁+x₂=

-6k2

3k2+1

=-1，解得k=±

3

3

．…（7分）
（3）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M（m，0），
使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，
由

x2+3y2=5 y=k(x+1)

得：(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

-6k2

3k2+1

，x1•x2=

3k2-5

3k2+1

，…（9分）
∵

MA

=(x1-m，y1)，

MB

=(x2-m，y2）
∴

MA

•

MB

+

5

3k2+1

=(x1-m)(x2-m)+y1y2+

5

3k2+1

=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)+

5

3k2+1

=(1+k2)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+m2+k2+

5

3k2+1

=(1+k2)

3k2-5

3k2+1

+(k2-m)

-6k2

3k2+1

+m2+k2+

5

3k2+1

=

-k2+6mk2+3m2k2+m2

3k2+1

是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，設(shè)常數(shù)為t，
則

-k2+6mk2+3m2k2+m2

3k2+1

=t…（12分）
整理得（3m²+6m-1-3t）k²+m²-t=0對(duì)任意的k恒成立∴

3m2+6m-1-3t=0 m2-t=0

，解得m=

1

6

即在x軸上存在點(diǎn)M（

1

6

，0），
使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．通過(guò)幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過(guò)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過(guò)向量與幾何問(wèn)題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，探究研究問(wèn)題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．