Question

14．甲、乙兩位數(shù)學老師組隊參加某電視臺闖關節(jié)目，共3關，甲作為嘉賓參與答題，若甲回答錯誤，乙作為親友團在整個通關過程中至多只能為甲提供一次幫助機會，若乙回答正確，則甲繼續(xù)闖關，若某一關通不過，則收獲前面所有累積獎金．約定每關通過得到獎金2000元，設甲每關通過的概率為$\frac{3}{4}$，乙每關通過的概率為$\frac{1}{2}$，且各關是否通過及甲、乙回答正確與否均相互獨立．
（1）求甲、乙獲得2000元獎金的概率；
（2）設X表示甲、乙兩人獲得的獎金數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）甲、乙獲得2000元獎金的概率有兩種情況：①第一關甲答對，第二關甲、乙都答錯；②第一關甲答錯，乙答對，第二關甲答錯，可求得結論；
（2）確定變量的取值，求出相應的概率，即可求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望．

解答 解：（1）甲、乙獲得2000元獎金的概率有兩種情況：①第一關甲答對，第二關甲、乙都答錯；②第一關甲答錯，乙答對，第二關甲答錯．
故其概率為：P=$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$…（4分）
（2）根據題意，X=0，2000，4000，6000，
P（X=0）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$；…（6分）
P（X=2000）=$\frac{1}{8}$；
P（X=4000）=$（\frac{3}{4}）^{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×{C}_{2}^{1}×\frac{1}{4}$=$\frac{15}{128}$；…（8分）
P（X=6000）=$（\frac{3}{4}）^{3}+（\frac{3}{4}）^{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×{C}_{3}^{1}$=$\frac{81}{128}$…（10分）
隨機變量X的分布列為

X	0	2000	4000	6000
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{15}{128}$	$\frac{81}{128}$

所以E（X）=0×$\frac{1}{8}$+2000×$\frac{1}{8}$+4000×$\frac{15}{128}$+6000×$\frac{81}{128}$=$\frac{36125}{8}$（元）…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題．