Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)f(x)=x－ax + (a－1)，．

（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（II）若，數(shù)列滿足．

若首項，證明數(shù)列為遞增數(shù)列；

若首項為正整數(shù)，數(shù)列遞增，求首項的最小值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

解（I）可知的定義域為，且

．

當即,則,得在單調(diào)增加．————1分

當,而,即時,若，則;若或，則．

此時在單調(diào)減少，在單調(diào)增加；    ————3分

當,即,可得在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.

綜上，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增．   ——————6分

（II）若，則=x－2x +，由（I）知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．

（1）因為，所以，可知．

假設(shè)，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即得．

所以，由數(shù)學歸納法可得．因此數(shù)列為遞增數(shù)列．—————9分

（2）由（1）知：當且僅當，數(shù)列為遞增數(shù)列．

所以，題設(shè)即a1－2 a1 + > a1，且a1為正整數(shù)．

由a1－2 a1 + > a1，得．　

令，則，可知函數(shù)在區(qū)間遞增．由于，，，．所以，首項的最小值為6． ————————14分

 

 

 

 

 

 

【解析】略