Question

如圖，菱形ABCD的邊長為1，有∠D=120°，點(diǎn)E、F分別是AD、DC的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于點(diǎn)M、N．
（1）求AC的值．
（2）求MN的值．

Answer 1

解：（1）連接BD交AC于點(diǎn)O，由∠ADC=120°，得∠ADO=60°，
而∠AOD=90°，AD=1，得，，∴；
（2）設(shè)，，則，而B、M、E三點(diǎn)共線，
∴，即，∴，
即，有，解得，，
∴，即，同理，得
由（1）得，∴．
即．
分析：（1）利用菱形的對角線垂直及對角線平分頂角，再解直角三角形求出邊AC
（2）利用三點(diǎn)共線則向量共線，據(jù)向量共線的充要條件設(shè)出共線的條件及共線的條件，
兩等式聯(lián)立求出點(diǎn)M所在的位置，同理得到點(diǎn)N的位置，求出|MN|的長．
點(diǎn)評：本題考查菱形的對角線的性質(zhì)、向量共線的充要條件、向量的運(yùn)算律及運(yùn)算法則．