【題目】如圖1,直角梯形中,,,E、F分別是和上的點(diǎn),且,,,沿將四邊形折起,如圖2,使與所成的角為60°.
(1)求證:平面;
(2)M為上的點(diǎn),,若二面角的余弦值為,求的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)由平面圖形,可證得線面平行,從而得面面平行,然后可得證線面平行;
(2)先證得平面平面,然后作于點(diǎn)O,則平面,以O為原點(diǎn),平行于的直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各點(diǎn)坐標(biāo),求出平面的法向量,由法向量夾角的余弦的絕對值等于二面角余弦值,可求得.
(1)證明:在圖1中,,,又,所以是矩形,
所以在圖2中,,又平面,所以平面,
因?yàn)?/span>,又平面,所以平面,
又因?yàn)?/span>,所以平面平面,
而平面,所以平面.
(2)解:因?yàn)?/span>,所以是與所成的角,所以,
∵,,∴平面,故平面平面,作于點(diǎn)O,則平面,,,,
以O為原點(diǎn),平行于的直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,.
,,,,
設(shè)平面的法向量為,
則,取,得.
平面的一個法向量為,
設(shè)二面角的平面角為,
所以,
平方整理得,因?yàn)?/span>,所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】動圓過定點(diǎn),且在軸上截得的弦的長為4.
(1)若動圓圓心的軌跡為曲線,求曲線的方程;
(2)在曲線的對稱軸上是否存在點(diǎn),使過點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)滿足為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)及定值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知關(guān)于的不等式有且僅有兩個正整數(shù)解(其中e=2.71828… 為自然對數(shù)的底數(shù)),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. (,] B. (,] C. [,) D. [,)
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【題目】如圖,四棱錐中,平面底面,是等邊三角形,底面是菱形,且,為棱的中點(diǎn),為菱形的中心,下列結(jié)論正確的有( )
A.直線與平面平行B.直線與直線垂直
C.線段與線段長度相等D.與所成角的余弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某口罩廠一年中各月份的收入、支出情況如圖所示(單位:萬元,下列說法中錯誤的是(注:月結(jié)余=月收入一月支出)( )
A.上半年的平均月收入為45萬元B.月收入的方差大于月支出的方差
C.月收入的中位數(shù)為70D.月結(jié)余的眾數(shù)為30
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的右焦點(diǎn)為,下頂點(diǎn)為P,過點(diǎn)的動直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn).
(1)當(dāng)直線l平行于x軸時,P,F,A三點(diǎn)共線,且,求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)橢圓C的離心率為何值時,對任意的動直線l,總有?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體的棱長為分別是棱,的中點(diǎn),過點(diǎn)的平面分別與棱,交于點(diǎn),設(shè).給出以下四個命題:
①平面與平面所成角的最大值為45°;
②四邊形的面積的最小值為;
③四棱錐的體積為;
④點(diǎn)到平面的距離的最大值為.
其中命題正確的序號為( )
A.②③④B.②③C.①②④D.③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】最近,紀(jì)錄片《美國工廠》引起中美觀眾熱議,大家都認(rèn)識到,大力發(fā)展制造業(yè),是國家強(qiáng)盛的基礎(chǔ),而產(chǎn)業(yè)工人的年齡老化成為阻礙美國制造業(yè)發(fā)展的障礙,中國應(yīng)未雨綢繆.某工廠有35周歲以上(含35周歲)工人300名,35周歲以下工人200名,為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān).現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“35周歲以上(含35周歲)”和“35周歲以下”分為兩組,在將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人,求至少抽到一名“35周歲以下組”工人的概率.
(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請你根據(jù)已知條件完成的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”?
生產(chǎn)能手 | 非生產(chǎn)能手 | 合計(jì) | |
35歲以下 | |||
35歲以上 | |||
合計(jì) |
附表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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