【題目】已知為正整數(shù)，

（1）證明：當時，；

（2）對于，已知，求證：，；

（3）求出滿足等式的所有正整數(shù).

【答案】(1)見解析;(2)見解析(3)2,3.

【解析】

（1）直接利用數(shù)學歸納法證明即可；

（2）對于,已知,利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及放縮法即可證得

（3）利用（2）的結(jié)論,以及驗證時等式是否成立，即可求出滿足等式的所有正整數(shù).

(1)證明：

當時, ；即成立，

時,用數(shù)學歸納法證明：

(ⅰ)當時,原不等式成立；

當時,左邊,右邊

因為所以左邊右邊,原不等式成立；

(ⅱ)假設當時,不等式成立,即,

則當時，

于是在不等式兩邊同乘以得

,

所以即當時,不等式也成立.

綜合(ⅰ)(ⅱ)知，對一切正整數(shù)不等式都成立.

(2)證：當時,由(1)得于是

(3)由(2)知,當時,

,

即,即當時,不存在滿足等式的正整數(shù).

故只需要討論的情形：

當時,等式不成立；

當時,等式成立；

當時,等式成立；

當時,為偶數(shù),而為奇數(shù),故，等式不成立；

當時,同的情形可分析出,等式不成立.

綜上，所求的只有

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某省從2021年開始將全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生從政治、化學、生物、地理四門中選兩科，按照等級賦分計入高考成績，等級賦分規(guī)則如下：從2021年夏季高考開始，高考政治、化學、生物、地理四門等級考試科目的考生原始成績從高到低劃分為五個等級，確定各等級人數(shù)所占比例分別為，，，，，等級考試科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到、、、、五個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級分，等級轉(zhuǎn)換分滿分為100分.具體轉(zhuǎn)換分數(shù)區(qū)間如下表：

等級

比例

賦分區(qū)間

而等比例轉(zhuǎn)換法是通過公式計算：

其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，、分別表示等級分區(qū)間的最低分和最高分，表示原始分，表示轉(zhuǎn)換分，當原始分為，時，等級分分別為、

假設小南的化學考試成績信息如下表：

考生科目

考試成績

成績等級

原始分區(qū)間

等級分區(qū)間

化學

75分

等級

設小南轉(zhuǎn)換后的等級成績?yōu)?/span>，根據(jù)公式得：，

所以（四舍五入取整），小南最終化學成績?yōu)?7分.

已知某年級學生有100人選了化學，以半期考試成績?yōu)樵汲煽冝D(zhuǎn)換本年級的化學等級成績，其中化學成績獲得等級的學生原始成績統(tǒng)計如下表：

成績

95

93

91

90

88

87

85

人數(shù)

1

2

3

2

3

2

2

（1）從化學成績獲得等級的學生中任取2名，求恰好有1名同學的等級成績不小于96分的概率；

（2）從化學成績獲得等級的學生中任取5名，設5名學生中等級成績不小于96分人數(shù)為，求的分布列和期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】每年的金秋十月，越野e族阿拉善英雄會在內(nèi)蒙古自治區(qū)阿拉善盟阿左旗騰格里沙漠舉行，該項目已打造成集沙漠競技運動、汽車文化極致體驗、主題休閑度假為一體的超級汽車文化賽事娛樂綜合體.為了減少對環(huán)境的污染，某環(huán)保部門租用了特制環(huán)保車清潔現(xiàn)場垃圾.通過查閱近5年英雄會參會人數(shù)（萬人）與沙漠中所需環(huán)保車輛數(shù)量（輛），得到如下統(tǒng)計表：

參會人數(shù)（萬人）

11

9

8

10

12

所需環(huán)保車輛（輛）

28

23

20

25

29

（1）根據(jù)統(tǒng)計表所給5組數(shù)據(jù)，求出關于的線性回歸方程．

（2）已知租用的環(huán)保車平均每輛的費用（元）與數(shù)量（輛）的關系為

.主辦方根據(jù)實際參會人數(shù)為所需要投入使用的環(huán)保車，

每輛支付費用6000元，超出實際需要的車輛，主辦方不支付任何費用.預計本次英雄會大約有14萬人參加，根據(jù)（Ⅰ）中求出的線性回歸方程，預測環(huán)保部門在確保清潔任務完成的前提下，應租用多少輛環(huán)保車？獲得的利潤是多少？（注：利潤主辦方支付費用租用車輛的費用）．

參考公式：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐，平面，已知，點，分別為，的中點.

(1)求證:平面;

(2)若在線段上，滿足平面，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）當時，解不等式；

（2）若關于的方程的解集中恰好有一個元素，求實數(shù)的值；

（3）設，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過，求的取值范圍.

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【題目】（本小題滿分16分）已知是虛數(shù)， 是實數(shù)．

（1）求為何值時， 有最小值，并求出|的最小值；

（2）設，求證： 為純虛數(shù)．

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【題目】點E、F、G分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、B1C1的中點，如圖所示，則下列命題中的真命題是________(寫出所有真命題的編號)．

①以正方體的頂點為頂點的三棱錐的四個面中最多只有三個面是直角三角形；

②過點F、D1、G的截面是正方形；

③點P在直線FG上運動時，總有AP⊥DE；

④點Q在直線BC1上運動時，三棱錐A－D1QC的體積是定值；

⑤點M是正方體的平面A1B1C1D1內(nèi)的到點D和C1距離相等的點，則點M的軌跡是一條線段．

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【題目】已知動點到定直線的距離比到定點的距離大.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點的直線交軌跡于， 兩點，直線， 分別交直線于點， ，證明以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值，并求出此定值.

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