Question

【題目】如圖，是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn).線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn).

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是什么曲線？并求出其軌跡方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作直線與曲線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：由題意可得，根據(jù)橢圓的定義得點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，求得的值，代入即可求得其軌跡方程；

設(shè)的方程為，聯(lián)立方程得，消去得，，根據(jù)韋達(dá)定理及換元后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得面積的最大值。

解析：（Ⅰ）由題意得

根據(jù)橢圓的定義得點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，

軌跡方程為，

（Ⅱ）由題意知（為點(diǎn)到直線的距離），

設(shè)的方程為，聯(lián)立方程得，消去得

設(shè)，則，

則，

又，

令，由，得，

，，易證在遞增，，

面積的最大值.