【題目】已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，且.

（1）求，的值；

（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并寫(xiě)出其通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)（），試問(wèn)是否存在正整數(shù)，（其中，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的數(shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析，；（3）存在，.

【解析】

（1）在中，分別令即可求得答案；
（2）由，即，得，兩式作差整理變形，根據(jù)等差數(shù)列等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可證明；
（3）假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組，使，，成等比數(shù)列，則可得到關(guān)系，觀(guān)察可知滿(mǎn)足條件，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可證明唯一符合條件.

（1）令，則，

令，則，；

（2）由，即 ① ，

又 ②，

②式減①式，得 ③，

于是 ④，

③、④兩式相加，得，

所以，即，

所以，數(shù)列是等差數(shù)列.

又，，所以公差，

所以的通項(xiàng)公式為；

（3）由（2）和，知，假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組（），使得，，成等比數(shù)列，則，

于是，所以 （*），

當(dāng)時(shí)，，，.

所以是方程（*）的一組解.

當(dāng)且時(shí)，因?yàn)?/spn>，即單調(diào)遞減，

所以，此時(shí)方程（*）無(wú)正整數(shù)解.

綜上，滿(mǎn)足題設(shè)的數(shù)對(duì)有且只有一個(gè)，為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】

如圖，曲線(xiàn)由曲線(xiàn)和曲線(xiàn)組成，其中點(diǎn)為曲線(xiàn)所在圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)為曲線(xiàn)所在圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)；

（1）若，求曲線(xiàn)的方程；

（2）對(duì)于（1）中的曲線(xiàn)，若過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)平行于曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，交曲線(xiàn)于點(diǎn)A、B，求三角形的面積；

（3）如圖，若直線(xiàn)（不一定過(guò)）平行于曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，交曲線(xiàn)于點(diǎn)A、B，求證：弦AB的中點(diǎn)M必在曲線(xiàn)的另一條漸近線(xiàn)上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線(xiàn)l沿x軸正方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸正方向平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線(xiàn)l1.再將直線(xiàn)l1沿x軸正方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，又與直線(xiàn)l重合.若直線(xiàn)l與直線(xiàn)l1關(guān)于點(diǎn)（2，3）對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)l的方程是________________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】數(shù)列滿(mǎn)足，且.

（1）求、、；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）令，求數(shù)列的最大值與最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱柱中，是棱上的一點(diǎn)，平面，，，.

（1）若是的中點(diǎn)，證明：平面平面；

（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，點(diǎn)是上的定點(diǎn)，、是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)在線(xiàn)段上.

（1）拋物線(xiàn)的方程及的值；

（2）當(dāng)點(diǎn)、分別在第一、四象限時(shí)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)點(diǎn)在橢圓的圖像上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，求曲線(xiàn)的軌跡方程，并指出該曲線(xiàn)是什么圖形；

（3）過(guò)橢圓上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為不在坐標(biāo)軸上），若直線(xiàn)在軸，軸上的截距分別為試問(wèn)：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】狄利克雷函數(shù)為F(x).有下列四個(gè)命題：①此函數(shù)為偶函數(shù)，且有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸；②此函數(shù)的值域是；③此函數(shù)為周期函數(shù)，但沒(méi)有最小正周期；④存在三點(diǎn)，使得△ABC是等腰直角三角形，以上命題正確的是（　　）

A.①②B.①③C.③④D.②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設(shè)函數(shù)．

（1）求、的值及函數(shù)的解析式；

（2）若不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）如果關(guān)于的方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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