Question

如圖，已知拋物線C：y²=4x，過焦點F斜率大于零的直線l交拋物線于A、B兩點，且與其準線交于點D．
（Ⅰ）若線段AB的長為5，求直線l的方程；
（Ⅱ）在C上是否存在點M，使得對任意直線l，直線MA，MD，MB的斜率始終成等差數(shù)列，若存在求點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,直線的一般式方程

專題：計算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設l：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則聯(lián)立方程化簡可得y²-4my-4=0，從而可得|AB|=x1+x2+2=4m2+4=5，從而求直線l的方程；
（Ⅱ）設M（a²，2a），則k_MA=

y1-2a

x1-a2

=

4

y1+2a

，k_MB=

4

y2+2a

，k_MD=

2a+ 2 m

a2+1

，則

a+ 1 m

a2+1

=

y1+y2+4a

y1y2+2a(y1+y2)+4a2

，從而可得（a²-1）（m+

1

m

）=0，從而求出點M的坐標．

解答： 解：（Ⅰ）焦點F（1，0）
∵直線l的斜率不為0，所以設l：x=my+1，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x=my+1 y2=4x

得y²-4my-4=0，
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，
x1x2=

y12

4

•

y22

4

=

(-4)2

16

=1，
∴|AB|=x1+x2+2=4m2+4=5，
∴m2=

1

4

．
∴直線l的斜率k²=4，
∵k＞0，∴k=2，
∴直線l的方程為2x-y-2=0．
（Ⅱ）設M（a²，2a），
k_MA=

y1-2a

x1-a2

=

4

y1+2a

，
同理，k_MB=

4

y2+2a

，k_MD=

2a+ 2 m

a2+1

，
∵直線MA，MD，MB的斜率始終成等差數(shù)列，
∴2

2a+ 2 m

a2+1

=

4

y2+2a

+

4

y1+2a

恒成立；
∴

a+ 1 m

a2+1

=

y1+y2+4a

y1y2+2a(y1+y2)+4a2

，
又∵y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴（a²-1）（m+

1

m

）=0，
∴a=±1，
∴存在點M（1，2）或M（1，-2），使得對任意直線l，
直線MA，MD，MB的斜率始終成等差數(shù)列．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系的應用，同時考查了學生的化簡能力，屬于難題．