Question

【題目】已知拋物線，過點(diǎn)且互相垂直的兩條動直線、與拋物線分別交于、和、.

（1）求的取值范圍；

（2）記線段和的中點(diǎn)分別為、，求證：直線恒過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立直線與拋物線的方程，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式可得出關(guān)于的表達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)可求得的最小值；

（2）求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得直線的方程，進(jìn)而可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）由題意可知兩直線、的斜率一定存在，且不等于.

設(shè)，，，則.

聯(lián)立直線與拋物線的方程，有，

其中，由韋達(dá)定理，有.

所以.

設(shè).

因?yàn)?/span>，又因?yàn)?/span>.

所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，易得，

即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以時(shí)，單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增，

所以在處取得最小值，且當(dāng)時(shí)，.

故的最小值為，因此，的取值范圍是；

（2）因?yàn)橛桑?/span>1）有，，

所以中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，同理點(diǎn)F的坐標(biāo)為.

于是，直線的斜率為，

則直線的方程為，

所以直線恒過定點(diǎn).