橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸,且經(jīng)過點、.記其上頂點為,右頂點為.
(1)求圓心在線段上,且與坐標(biāo)軸相切于橢圓焦點的圓的方程;
(2)在橢圓位于第一象限的弧上求一點,使的面積最大.
(1)圓的方程為;
(2)當(dāng)點的坐標(biāo)為,的面積最大.
解析試題分析:(1)先將橢圓的方程為,利用待定系數(shù)法求出橢圓的方程,并求出橢圓的焦點坐標(biāo),利用圓與坐標(biāo)軸相切于焦點,且圓心在線段上,從而求出圓心的坐標(biāo)以及圓的半徑,進(jìn)而求出圓的方程;(2)法一是根據(jù)參數(shù)方程法假設(shè)點的坐標(biāo),并計算出點到線段的距離和線段的長度,然后以為底邊,為的高計算的面積的代數(shù)式,并根據(jù)代數(shù)式求出的面積的最大值并確定點的坐標(biāo);法二是利用的面積取最大值時,點處的切線與線段平行,將切線與橢圓的方程聯(lián)立,利用確定切線的方程,進(jìn)而求出點的坐標(biāo).
試題解析:(1)設(shè)橢圓的方程為,則有,解得,
故橢圓的方程為,故上頂點,右頂點,
則線段的方程為,即,
由于圓與坐標(biāo)軸相切于橢圓的焦點,且橢圓的左焦點為,右焦點為,
若圓與坐標(biāo)軸相切于點,則圓心在直線上,此時直線與線段無交點,
若圓與坐標(biāo)軸相切于點,則圓心在直線上,聯(lián)立,解得,
即圓的圓心坐標(biāo)為,半徑長為,
故圓的方程為;
(2)法一:設(shè)點的坐標(biāo)為,且,
點到線段的距離
,
,則,故,故,
,而,
則,
故當(dāng)時,即當(dāng)時,的面積取到最大值為,
此時點的坐標(biāo)為;
法二:設(shè)與平行的直線為,
當(dāng)此直線與橢圓相切于第一象限時,切點即所求點,
由得:①
令①中,有:,
又直線過第一象限,故,解得,
此時由①有,
代入橢圓方程,取,解得.故.
考點:1.橢圓的方程;2.圓的方程;3.三角形的面積
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,已知圓為圓上一動點,點是線段的垂直平分線與直線的交點.
(1)求點的軌跡曲線的方程;
(2)設(shè)點是曲線上任意一點,寫出曲線在點處的切線的方程;(不要求證明)
(3)直線過切點與直線垂直,點關(guān)于直線的對稱點為,證明:直線恒過一定點,并求定點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓,、是其左右焦點,離心率為,且經(jīng)過點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若、分別是橢圓長軸的左右端點,為橢圓上動點,設(shè)直線斜率為,且,求直線斜率的取值范圍;
(3)若為橢圓上動點,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左焦點為,且橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的上下頂點分別為,是橢圓上異于的任一點,直線分別交軸于點,證明:為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓上,是否存在點,使得直線與圓相交于不同的兩點,且的面積最大?若存在,求出點的坐標(biāo)及對應(yīng)的的面積;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為,直線l的方程為:
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知直線l與橢圓相交于、兩點
①若線段中點的橫坐標(biāo)為,求斜率的值;
②已知點,求證:為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,點為動點,、分別為橢圓的左、右焦點.已知為等腰三角形.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點,是直線上的點,滿足,求點的軌跡
方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點坐標(biāo)為,過的直線交拋物線于兩點,直線分別與直線:相交于兩點.
(1)求拋物線的方程;
(2)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心為原點,長軸長為,一條準(zhǔn)線的方程為.
(Ⅰ)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)射線與橢圓的交點為,過作傾斜角互補的兩條直線,分別與橢圓交于 兩點(兩點異于).求證:直線的斜率為定值.
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