某同學(xué)參加某高校自主招生3門課程的考試.假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率為
4
5
,第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率分別為p,q(p<q),且不同課程是否取得優(yōu)秀成績(jī)相互獨(dú)立.記ξ為該生取得優(yōu)秀成績(jī)的課程數(shù),其分布列為
ξ 0 1 2 3
pi
6
125
x y
24
125
(Ⅰ)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率及求p,q的值;
(Ⅱ) 求數(shù)學(xué)期望Eξ.
分析:(Ⅰ)用Ai表示“該生第i門課程取得優(yōu)秀成績(jī)”,i=1,2,3.由題意得P(A1)=
4
5
,P(
.
A
1
.
A
2
.
A
3
)=
6
125
,由此能求出該生至少有一門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率.從而能夠求出p,q的值.
(Ⅱ)由題設(shè)知ξ的可能取值為0,1,2,3,分別求出其概率,由此能夠求出數(shù)學(xué)期望Eξ.
解答:解:用Ai表示“該生第i門課程取得優(yōu)秀成績(jī)”,i=1,2,3.
由題意得P(A1)=
4
5
,P(
.
A
1
.
A
2
.
A
3
)=
6
125

(Ⅰ)該生至少有一門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率為P=1-P(
.
A
1
.
A
2
.
A
3
)=1-
6
125
=
119
125

P(
.
A1
.
A2
.
A3
)=(1-P(A1))(1-P(A2))(1-P(A3))=
1
5
(1-p)(1-q)=
6
125

P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=
4
5
pq=
24
125
p=
2
5
,q=
3
5

(Ⅱ)由題設(shè)知ξ的可能取值為0,1,2,3,
P(ξ=0)=
6
125
,
P(ξ=1)=
4
5
×
3
5
×
2
5
+
1
5
×
2
5
×
2
5
+
1
5
×
3
5
×
3
5
=
37
125
,P(ξ=2)=
4
5
×
2
5
×
2
5
+
4
5
×
3
5
×
3
5
+
1
5
×
2
5
×
3
5
=
58
125
,
P(ξ=3)=1-
6
125
-
37
125
-
58
125
=
24
125

ξ 0 1 2 3
pi
6
125
37
125
58
125
24
125
E(ξ)=0×
6
125
+1×
37
125
+2×
58
125
+3×
24
125
=
9
5

∴該生取得優(yōu)秀成績(jī)的課程門數(shù)的期望為
9
5
點(diǎn)評(píng):本題考查離散隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望,是歷年高考的必考題型之一.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意排列組合知識(shí)和概率知識(shí)的靈活運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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某同學(xué)參加某高校自主招生3門課程的考試.假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率為,第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率分別為p,q(p<q),且不同課程是否取得優(yōu)秀成績(jī)相互獨(dú)立.記ξ為該生取得優(yōu)秀成績(jī)的課程數(shù),其分布列為

(Ⅰ)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率及求p,q的值;

(Ⅱ)求數(shù)學(xué)期望Eξ.

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某同學(xué)參加某高校自主招生3門課程的考試.假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率為
4
5
,第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率分別為p,q(p<q),且不同課程是否取得優(yōu)秀成績(jī)相互獨(dú)立.記ξ為該生取得優(yōu)秀成績(jī)的課程數(shù),其分布列為
ξ 0 1 2 3
pi
6
125
x y
24
125
(Ⅰ)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率及求p,q的值;
(Ⅱ) 求數(shù)學(xué)期望Eξ.

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某同學(xué)參加某高校自主招生3門課程的考試.假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率為,第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率分別為p,q(p<q),且不同課程是否取得優(yōu)秀成績(jī)相互獨(dú)立.記ξ為該生取得優(yōu)秀成績(jī)的課程數(shù),其分布列為
ξ123
pixy
(Ⅰ)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率及求p,q的值;
(Ⅱ) 求數(shù)學(xué)期望Eξ.

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ξ123
pixy
(Ⅰ)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率及求p,q的值;
(Ⅱ) 求數(shù)學(xué)期望Eξ.

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