(本小題滿分14分)橢圓
E中心在原點(diǎn)
O,焦點(diǎn)在
x軸上,其離心率
e=
,過點(diǎn)
C(-1,0)的直線
l與橢圓
E相交于
A、
B兩點(diǎn),且
C分有向線段
的比為2.
(1)用直線
l的斜率
k(
k≠0)表示△
OAB的面積;
(2)當(dāng)△
OAB的面積最大時,求橢圓
E的方程.
(1)
S△OAB=
(
k≠0).;(2)
x2+3
y2=5.
解:(1)設(shè)橢圓
E的方程為
=1(
a>
b>0),由
e=
.
∴
a2=3
b2,故橢圓方程
x2+3
y2=3
b2. 2分
設(shè)
A(
x1,
y1)、
B(
x2,
y2),由于點(diǎn)
C(-1,0)分有向線段
的比為2,
∴
,即
由
消去
y整理并化簡,得(3
k2+1)
x2+6
k2x+3
k2-3
b2=0. 4分
由直線
l與橢圓
E相交于
A(
x1,
y1)、
B(
x2,
y2)?兩點(diǎn),?
∴
而
S△OAB=
|
y1-
y2|=
|-2
y2-
y2|
=
|
y2|=
|
k(
x2+1)|=
|
k||
x2+1|. ⑥
由①④得:
x2+1=-
,代入⑥得:
S△OAB=
(
k≠0). 8分
(2)因
S△OAB=
=
≤
=
,
當(dāng)且僅當(dāng)
k=±
,
S△OAB取得最大值.
此時
x1+
x2=-1,又∵
=-1,
∴
x1=1,
x2=-2.
將
x1,
x2及
k2=
代入⑤得3
b2=5.
∴橢圓方程
x2+3
y2=5. 14分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
橢圓有兩頂點(diǎn)A(﹣1,0)、B(1,0),過其焦點(diǎn)F(0,1)的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn),并與x軸交于點(diǎn)P.直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.
(Ⅰ)當(dāng)|CD|=
時,求直線l的方程;
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時,求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖邊長為2的正方形花園的一角是以A為中心,1為半徑的扇形水池.現(xiàn)需在其余部分設(shè)計一個矩形草坪PNCQ,其中P是水池邊上任意一點(diǎn),點(diǎn)N、Q分別在邊BC和CD上,設(shè)∠PAB為θ.
(I)用θ表示矩形草坪PNCQ的面積,并求其最小值;
(II)求點(diǎn)P到邊BC和AB距離之比
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
本小題滿分12分)
如圖,已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)O,長軸左、右端點(diǎn)M,N在x軸上,橢圓C2的短軸為MN,且C1,C2的離心率都為e,直線l⊥MN,l與C1交于兩點(diǎn),與C2交于兩點(diǎn),這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A,B,C,D.
(1)設(shè)
,求
與
的比值;
(2)當(dāng)e變化時,是否存在直線l,使得BO∥AN,并說明理由
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知過拋物線
的焦點(diǎn),斜率為
的直線交拋物線于
(
)兩點(diǎn),且
.
(1)求該拋物線的方程;
(2)
為坐標(biāo)原點(diǎn),
為拋物線上一點(diǎn),若
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分14分)給定橢圓
>
>0
,稱圓心在原點(diǎn)
,半徑為
的圓是橢圓
的“伴隨圓”.若橢圓
的一個焦點(diǎn)為
,其短軸上的一個端點(diǎn)到
的距離為
.
(1)求橢圓
的方程及其“伴隨圓”方程;
(2)若傾斜角為
的直線
與橢圓C只有一個公共點(diǎn),且與橢圓
的伴隨圓相交于M、N兩
點(diǎn),求弦MN的長;
(3)點(diǎn)
是橢圓
的伴隨圓上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)
作直線
,使得
與橢圓
都只有一個公共點(diǎn),求證:
⊥
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,點(diǎn)
是橢圓
上一動點(diǎn),點(diǎn)
是點(diǎn)
在
軸上的射影,坐標(biāo)平面
內(nèi)動點(diǎn)
滿足:
(
為坐標(biāo)原點(diǎn)),設(shè)動點(diǎn)
的軌跡為曲線
.
(Ⅰ)求曲線
的方程并畫出草圖;
(Ⅱ)過右焦點(diǎn)
的直線
交曲線
于
,
兩點(diǎn),且
,點(diǎn)
關(guān)于
軸的對稱點(diǎn)為
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
中心在原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線C的兩條漸近線與圓
都相切,則雙曲線C的離心率是____;
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