Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若，且直線是曲線的一條切線，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）代入a的值，根據(jù)切線方程得到關(guān)于x0的方程，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，解出m即可；

（2）問題轉(zhuǎn)化為alnx1＞0，記g（x）＝alnx1，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定a的范圍即可；

（3）法一：求出h（x2）﹣h（x1）的解析式，記m（x）＝2[（x）lnxx]，x≥1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；

法二：由h（x）＝f（x）﹣x＝alnxx，x＞0，以及h（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），得到x1+x2＝a，x1x2＝1，設(shè)t2（t＞1），從而h（x2）﹣h（x1） 等價(jià)于 h（t）＝（t）lntt，t＞1，記m（x）＝（x）lnxx，x≥1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

（1）當(dāng)時(shí)， ，．

設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，

則，即，

解得，即切點(diǎn)為，

因?yàn)榍悬c(diǎn)在上，所以，解得．

（2）不等式可化為．

記， 則對任意恒成立．

考察函數(shù)， ，．

當(dāng)時(shí)， ，在上單調(diào)遞減，又，

所以，不合題意；

當(dāng)時(shí)， ，；， ，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，

所以時(shí)， ，符合題意；

若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)， ，不符合題意；

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（3）方法一：，，．

因?yàn)?/span>有兩個(gè)極值點(diǎn)， ，

所以，即的兩實(shí)數(shù)根為， ， ，

所以， ， ，所以， ，

從而

．

記，．

則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號)，

所以在上單調(diào)遞增，又，

不等式可化為，所以．

因?yàn)?/span>，且在上遞增，所以，

即的取值范圍為．

方法二：， ，．

因?yàn)?/span>有兩個(gè)極值點(diǎn)， ，

所以，即的兩實(shí)數(shù)根為， ， ，

所以， ， ，所以，．

設(shè)，則， ，所以， ， ，

從而等價(jià)于，．

記，．

則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號)，

所以在上單調(diào)遞增．

又， ，所以．

因?yàn)?/span>，且在上遞增，所以，

即的取值范圍為．