如圖，已知：PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD∶DC∶BC=1∶1∶.

    （1）求PB與平面PDC所成角的大��；

    （2）求二面角D—PB—C的正切值.

 

答案：
解析：

答案：解：（1）由PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，

    得PD⊥BC.

    由AD⊥DC，AD∥BC，得BC⊥DC.

    又PD∩DC=D，則BC⊥平面PDC.

    所以∠BPC為直線PB與平面PDC所成的角.

    令PD=1，則DC=1，，可求出.

    由BC⊥平面PDC，PC平面PDC，得BC⊥PC.

    在Rt△PBC中，由PC=BC，得∠BPC=45°，

    即直線PB與平面PDC所成的角為45°.

    （2）如圖，取PC中點(diǎn)E，連DE，則DE⊥PC.

    由BC⊥平面PDC，BC平面PBC，

    得平面PDC⊥平面PBC.

    則DE⊥平面PBC.　　  

    作EF⊥PB于F，連DF，

    由三垂線定理，得DF⊥PB.

    則∠DFE為二面角D—PB—C的平面角.

    在Rt△PDC中，求得.

    在Rt△PFE中，求得.

    在Rt△DEF中，

    即二面角D—PB—C的正切值為.

 


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2004•朝陽區(qū)一模）如圖，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，E、F分別為AB、PD的中點(diǎn)，過AE、AF的平面交PC于點(diǎn)H，二面角P-CD-B為45°，PA=a．
（Ⅰ）求證：AF∥EH；
（Ⅱ）求證：平面PCE⊥平面PCD； 
（Ⅲ）求多面體ECDAHF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：訓(xùn)練必修二數(shù)學(xué)蘇教版 蘇教版 題型：044

如圖，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝，設(shè)點(diǎn)E是棱PB上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，過點(diǎn)A、D、E的平面交棱PC于點(diǎn)F．

(1)求證：BC∥EF；

(2)求二面角A－PB－D的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；

(3)試確定點(diǎn)E的位置，使PC⊥平面ADFE，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：朝陽區(qū)一模 題型：解答題

如圖，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，E、F分別為AB、PD的中點(diǎn)，過AE、AF的平面交PC于點(diǎn)H，二面角P-CD-B為45°，PA=a．
（Ⅰ）求證：AF∥EH；
（Ⅱ）求證：平面PCE⊥平面PCD； 
（Ⅲ）求多面體ECDAHF的體積．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖,已知ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,設(shè)點(diǎn)E是棱PB上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，過點(diǎn)A、D、E的平面交棱PC于點(diǎn)F.

(1)求證:BC∥EF;

(2)求二面角A-PB-D的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示);

(3)試確定點(diǎn)E的位置,使PC⊥平面ADFE,并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2004年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，E、F分別為AB、PD的中點(diǎn)，過AE、AF的平面交PC于點(diǎn)H，二面角P-CD-B為45°，PA=a．
（Ⅰ）求證：AF∥EH；
（Ⅱ）求證：平面PCE⊥平面PCD； 
（Ⅲ）求多面體ECDAHF的體積．

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