Question

【題目】如圖，邊長為4的正方形所在平面與正三角形所在平面互相垂直，，分別為，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（I）根據(jù)題意，利用線面垂直、面面垂直的判定定理與面面垂直的性質(zhì)定理證明；

（Ⅱ）根據(jù)題意，分別以，，所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解．

（Ⅰ）證明：設(shè)直線，交于點(diǎn)，

∵，，

∴．

∴，則．

故，∴．

∵為的中點(diǎn)，為正三角形，

∴．

又平面平面，平面平面，

∴平面，

∴，

∵，

∴平面，

又平面，

∴平面平面．

（Ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為，連接．∵平面平面，∴，，由（Ⅰ）知，．

以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則，，，，．

設(shè)平面的法向量為，又，，

∴，得取，得．

設(shè)直線與平面所成角為，，

∴，

故直線與平面所成角的正弦值為．