Question

如圖，已知三棱錐A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，且△PMB為正三角形．
（1）求證DM∥平面APC； 
（2）求證平面ABC⊥平面APC；
（3）若BC=PC=4，求二面角P-AB-C的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出MD∥AP，由此能證明DM∥平面APC．
（2）由已知條件推導(dǎo)出MD⊥PB，AP⊥PB，由此得到AP⊥平面PBC，從而得到AP⊥BC，由此能證明平面ABC⊥平面PAC．
（3）以D為原點(diǎn)，DB、DC、DM為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P-AB-C的正弦值．

解答： （1）證明：∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，
∴MD∥AP．
又∵M(jìn)D?平面APC，
∴DM∥平面APC．
（2）證明：∵△PMB為正三角形，且D為PB中點(diǎn)，
∴MD⊥PB．
又由（1）知，MD∥AP．∴AP⊥PB．
又已知AP⊥PC，
∴AP⊥平面PBC．
∴AP⊥BC．
又∵AC⊥BC，
∴BC⊥平面APC．
∴平面ABC⊥平面PAC．
（3）解：∵BC=PC=4，設(shè)PB=PM=BM=a，則PB=2a，
由題意知

4a2-16=AC2 AC2-16=AP2 AP2+a2=4a2

，
解得a=4

2

，
以D為原點(diǎn)，DB、DC、DM為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（-2

2

，0，4

6

），B（2

2

，0），C（0，2

2

，0），
∴

AB

=(4

2

，0，-4

6

)，

AC

=(2

2

，2

2

，-4

6

)，
設(shè)平面ABC的法向量

n

=(x，y，z)，
∴

n • AB =4 2 x-4 6 z=0 n • AC =2 2 x+2 2 y-4 6 z=0

，
取x=

3

，得

n

=（

3

，

3

，1），
由題意知平面PAB的法向量

m

=(0，1，0)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

3

7

，
設(shè)二面角P-AB-C的平面角為θ，
則sinθ=

1-( 3 7 )2

=

2 7

7

．
∴二面角P-AB-C的正弦值為

2 7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．