【題目】已知函數(shù),R.

(1)試討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(2)若N*,且恒成立,求的最大值.

參考數(shù)據(jù):

【答案】(1)見解析;(2)10

【解析】

(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論的范圍,即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)先由(1)可確定時(shí),有唯一極大值點(diǎn),進(jìn)而可表示出的最大值,因此恒成立即轉(zhuǎn)化為的問題,再構(gòu)造函數(shù),用導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性和最值即可得出結(jié)果.

(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

。當(dāng)時(shí),,

在定義域單調(diào)遞減,沒有極值點(diǎn);

②當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減且圖像連續(xù),

時(shí),所以存在唯一正數(shù),使得

函數(shù)單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,

所以函數(shù)有唯一極大值點(diǎn),沒有極小值點(diǎn)

綜上:當(dāng)時(shí),沒有極值點(diǎn);

當(dāng)時(shí),有唯一極大值點(diǎn),沒有極小值點(diǎn)

(2)方法一:

由(1)知,當(dāng)時(shí),有唯一極大值點(diǎn),所以

恒成立

因?yàn)?/span>,所以

所以.

,則單調(diào)遞增,

由于,

所以存在唯一正數(shù),使得,

從而.

由于恒成立,

①當(dāng)時(shí),成立;

②當(dāng)時(shí),由于,所以.

,當(dāng)時(shí),,

所以單調(diào)遞減,從而.

因?yàn)?/span>,且,且N*,所以.

下面證明時(shí),.

,且單調(diào)遞減,由于

所以存在唯一,使得

所以.

,,易知單調(diào)遞減,

所以,

所以

時(shí),.

所以的最大值是10.

方法二:

由于恒成立,所以

,;

;

;

因?yàn)?/span>N*,所以猜想:的最大值是10.

下面證明時(shí),.

,且單調(diào)遞減,由于,

所以存在唯一,使得,

所以.

,,易知單調(diào)遞減,

所以

所以

時(shí),.

所以的最大值是10.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知復(fù)數(shù),是實(shí)數(shù),是虛數(shù)單位.

(1)求復(fù)數(shù);

(2)若復(fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第一象限,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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【題目】設(shè)為奇質(zhì)數(shù),是小于的正整數(shù).證明:的充分必要條件是,對(duì)任何小于的正整數(shù),均有等于正奇數(shù).

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【題目】隨著人民生活水平的提高,對(duì)城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大,圖2是某城市1月至8月的空氣質(zhì)量檢測情況,圖中一、二、三、四級(jí)是空氣質(zhì)量等級(jí), 一級(jí)空氣質(zhì)量最好,一級(jí)和二級(jí)都是質(zhì)量合格天氣,下面四種說法正確的是( )

①1月至8月空氣合格天數(shù)超過20天的月份有5個(gè)

②第二季度與第一季度相比,空氣達(dá)標(biāo)天數(shù)的比重下降了

③8月是空氣質(zhì)量最好的一個(gè)月

④6月份的空氣質(zhì)量最差

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)若的極值,求的值,并求的單調(diào)區(qū)間。

(2)若時(shí),,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】近年空氣質(zhì)量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多,大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān),在某醫(yī)院隨機(jī)對(duì)心肺疾病入院的人進(jìn)行問卷調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表:

患心肺疾病

不患心肺疾病

合計(jì)

合計(jì)

(1)用分層抽樣的方法在患心肺疾病的人群中抽人,其中男性抽多少人?

(2)在上述抽取的人中選人,求恰好有名女性的概率;

(3)為了研究心肺疾病是否與性別有關(guān),請(qǐng)計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量,你有多大把握認(rèn)為心肺疾病與性別有關(guān)?

下面的臨界值表供參考:

參考公式: ,其中.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某地區(qū)2007年至2011年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:

年份

2007

2008

2009

2010

2011

年份代號(hào)t

1

2

3

4

5

人均純收入y

3.1

3.6

3.9

4.4

5

1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;

2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2011年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為.

(1)求曲線的普通方程,曲線的參數(shù)方程;

(2)若分別為曲線,上的動(dòng)點(diǎn),求的最小值,并求取得最小值時(shí),點(diǎn)的直角坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某醫(yī)藥公司研發(fā)一種新的保健產(chǎn)品,從一批產(chǎn)品中抽取200盒作為樣本,測量產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,該指標(biāo)值越高越好.由測量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖:

(Ⅰ)求,并試估計(jì)這200盒產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的平均值;

(Ⅱ)① 用樣本估計(jì)總體,由頻率分布直方圖認(rèn)為產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,計(jì)算該批產(chǎn)品指標(biāo)值落在上的概率;參考數(shù)據(jù):附:若,則,.

②國家有關(guān)部門規(guī)定每盒產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)不低150均為合格,且按指標(biāo)值的從低到高依次分為:合格、優(yōu)良、優(yōu)秀三個(gè)等級(jí),其中為優(yōu)良,不高于180為合格,不低于220為優(yōu)秀,在①的條件下,設(shè)公司生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬盒的成本為15萬元,市場上每盒該產(chǎn)品的等級(jí)售價(jià)(單位:元)如圖表,求該公司每萬盒的平均利潤.

等級(jí)

合格

優(yōu)良

優(yōu)秀

價(jià)格

10

20

30

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