Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+ax+c，滿(mǎn)足不等式f（x）＜0的解集是（-2，0），
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）的圖象上，且a₁=99，令b_n=lg（1+a_n），
①求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
②令c_n=nb_n，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，是否存在正實(shí)數(shù)k使得不等式kn²b_n＞S_n+b_n+2-2對(duì)任意n∈N^*的恒成立？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于不等式f（x）=x²+ax+c＜0的解集是（-2，0），可得-2，0是方程x²+ax+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．
（Ⅱ）由于點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）的圖象上，可得an+1=an2+2an，
（�。┳冃螢�an+1+1=an2+2an+1=(an+1)2，兩邊取對(duì)數(shù)即可證明；
（ii）利用（i）可得b_n，進(jìn)而得到c_n．利用“錯(cuò)位相減法”即可得到S_n．把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的單調(diào)性求最大值問(wèn)題即可．

解答：解：（Ⅰ）∵不等式f（x）=x²+ax+c＜0的解集是（-2，0），
∴-2，0是方程x²+ax+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
由韋達(dá)定理得

-2+0=-a -2•0=c

，解得

a=2 c=0

，
∴f（x）=x²+2x；
（Ⅱ）∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）的圖象上，∴an+1=an2+2an，
（�。�an+1+1=an2+2an+1=(an+1)2，
∴lg(an+1+1)=lg(an+1)2=2lg(an+1)，
即b_n+1=2b_n，
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列； 
（ⅱ）由（�。┲猙₁=lg（a₁+1）=2，公比為2，
∴bn=2•2n-1=2n；
又cn=nbn=n•2n，
∴Sn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n，
2Sn=，1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1，
錯(cuò)位相減得：-Sn=1•21+22+23+…+2n-n•2n+1，
整理得Sn=(n-1)•2n+1+2，
∵kn²b_n＞S_n+b_n+2-2，即kn²•2ⁿ＞（n-1）2ⁿ⁺¹+2+2ⁿ⁺²-2，
化簡(jiǎn)整理得k＞

2n+2

n2

對(duì)任意n∈N^*的恒成立，
令g(n)=

2n+2

n2

=2•

1

n

+2•

1

n2

，只要k＞g（n）_max，
配方得g(n)=2(

1

n

+

1

2

)2-

1

2

，
∵

1

n

∈(0，1]，∴當(dāng)

1

n

=1時(shí)g（n）_max=4，即k＞4．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一元二次不等式的解法、變形取對(duì)數(shù)求數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、畫(huà)出李文濤的等價(jià)轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．