如圖，已知為平面上的兩個(gè)定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，，且， （是和的交點(diǎn)）

⑴建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系求出點(diǎn)的軌跡方程；

⑵若點(diǎn)的軌跡上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，且線段的中垂線與（或的延長(zhǎng)線）相交于一點(diǎn)，證明：（為的中點(diǎn)）

解：⑴如圖1，以所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系

由題設(shè)，

，而

點(diǎn)是以為焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，故點(diǎn)的軌跡方程為

⑵如圖2，設(shè)，，且，

即，又在軌跡上，

即

代入整理得：

，   

≤≤，≤≤，≤≤

，

，即。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知圓C的方程為：x2+y2-6x-8y+21=0，平面上有A（1，0）和B（-1，0）兩點(diǎn)．
（I）在圓上求一點(diǎn)Q，使△ABQ的面積最大，并求出最大面積；
（II）在圓上求一點(diǎn)P，使|AP|2+|BP|2取得最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•普陀區(qū)一模）如圖，已知圓C：x2+y2=r2與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A．由點(diǎn)A出發(fā)的射線l的斜率為k，且k為有理數(shù)．射線l與圓C相交于另一點(diǎn)B．
（1）當(dāng)r=1時(shí)，試用k表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)r=1時(shí)，試證明：點(diǎn)B一定是單位圓C上的有理點(diǎn)；（說明：坐標(biāo)平面上，橫、縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點(diǎn)為有理點(diǎn)．我們知道，一個(gè)有理數(shù)可以表示為
qp
，其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì)）
（3）定義：實(shí)半軸長(zhǎng)a、虛半軸長(zhǎng)b和半焦距c都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”．
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，是否能構(gòu)造“整勾股雙曲線”，它的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距的長(zhǎng)恰可由點(diǎn)B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑r的數(shù)值構(gòu)成？若能，請(qǐng)嘗試探索其構(gòu)造方法；若不能，試簡(jiǎn)述你的理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知圓與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為. 由點(diǎn)出發(fā)的射線的斜率為. 射線與圓相交于另一點(diǎn)

（1）當(dāng)時(shí)，試用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：“射線的斜率為有理數(shù)”是“點(diǎn)為單位圓上的有理點(diǎn)”的充要條件；（說明：坐標(biāo)平面上，橫、縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點(diǎn)為有理點(diǎn).我們知道，一個(gè)有理數(shù)可以表示為，其中、均為整數(shù)且、互質(zhì)）

（3）定義：實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”.

當(dāng)為有理數(shù)且時(shí)，試證明：一定能構(gòu)造偶數(shù)個(gè)“整勾股雙曲線”(規(guī)定：實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)都對(duì)應(yīng)相等的雙曲線為同一個(gè)雙曲線)，它的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距的長(zhǎng)恰可由點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑的數(shù)值構(gòu)成. 說明你的理由并請(qǐng)嘗試給出構(gòu)造方法.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年安徽省六安市徐集中學(xué)高三（上）摸底數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知圓C的方程為：x2+y2-6x-8y+21=0，平面上有A（1，0）和B（-1，0）兩點(diǎn)．
（I）在圓上求一點(diǎn)Q，使△ABQ的面積最大，并求出最大面積；
（II）在圓上求一點(diǎn)P，使|AP|2+|BP|2取得最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年上海市普陀區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知圓C：x2+y2=r2與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A．由點(diǎn)A出發(fā)的射線l的斜率為k，且k為有理數(shù)．射線l與圓C相交于另一點(diǎn)B．
（1）當(dāng)r=1時(shí)，試用k表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)r=1時(shí)，試證明：點(diǎn)B一定是單位圓C上的有理點(diǎn)；（說明：坐標(biāo)平面上，橫、縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點(diǎn)為有理點(diǎn)．我們知道，一個(gè)有理數(shù)可以表示為，其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì)）
（3）定義：實(shí)半軸長(zhǎng)a、虛半軸長(zhǎng)b和半焦距c都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”．
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，是否能構(gòu)造“整勾股雙曲線”，它的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距的長(zhǎng)恰可由點(diǎn)B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑r的數(shù)值構(gòu)成？若能，請(qǐng)嘗試探索其構(gòu)造方法；若不能，試簡(jiǎn)述你的理由．

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