Question

如圖，已知圓與軸負(fù)半軸的交點為. 由點出發(fā)的射線的斜率為. 射線與圓相交于另一點

（1）當(dāng)時，試用表示點的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時，求證：“射線的斜率為有理數(shù)”是“點為單位圓上的有理點”的充要條件；（說明：坐標(biāo)平面上，橫、縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點為有理點.我們知道，一個有理數(shù)可以表示為，其中、均為整數(shù)且、互質(zhì)）

（3）定義：實半軸長、虛半軸長和半焦距都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”.

當(dāng)為有理數(shù)且時，試證明：一定能構(gòu)造偶數(shù)個“整勾股雙曲線”(規(guī)定：實軸長和虛軸長都對應(yīng)相等的雙曲線為同一個雙曲線)，它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑的數(shù)值構(gòu)成. 說明你的理由并請嘗試給出構(gòu)造方法.

Answer 1

（1）  （2）證明略  （3）略

解析:

（1）解：設(shè)點的坐標(biāo)為. 由題意，點的坐標(biāo)為，

于是可設(shè)射線的方程為，

代入圓的方程可得：…①

方程①中，一個解必為，則由根與系數(shù)關(guān)系可知

點的橫坐標(biāo)為；代入直線方程可得.所以，點的坐標(biāo)即為.

（2）充分性：設(shè)射線的斜率（其中、均為整數(shù)且、互質(zhì)）

則由（1）可知，.

因為、均為整數(shù)，所以、必為一個有理數(shù)，從而點必為一個有理點.

必要性：若點為有理點，則可設(shè)，（其中、、、均為整數(shù)且和互質(zhì)、和互質(zhì)）

于是，，因為、、、均為整數(shù)，所以必為一個有理數(shù).

（3）證：設(shè)點的坐標(biāo)為.當(dāng)時，點必定落在第一象限的四分之一圓周上，即，.

而由，所以的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)以及圓的半徑必能構(gòu)成某個雙曲線的一組實半軸長、虛半軸長和半焦距的數(shù)據(jù). 由（2）結(jié)論可知，

此時點的坐標(biāo)應(yīng)為其中、此時均為正整數(shù)且、互質(zhì).

于是，只要構(gòu)造圓半徑（其中為正整數(shù)）時，則會有

,，它們都為正整數(shù)，且滿足.

因此，對于斜率為（其中、均為整數(shù)，且、互質(zhì)）的斜線，只需確定圓的半徑滿足（其中為正整數(shù)），則必定能構(gòu)造“整勾股雙曲線”滿足題意.

特別地，因為當(dāng)時，點坐標(biāo)必為，而此時射線的斜率為，不是有理數(shù).所以，構(gòu)造出的雙曲線一定不是等軸雙曲線，

即由，可構(gòu)造的“整勾股雙曲線”的實半軸長、虛半軸長和半焦距長可由和構(gòu)成，且個數(shù)一定為偶數(shù)個.