Question

20．在直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)P（1，-2）的直線l的傾斜角為45°．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極坐標(biāo)建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ，直線l和曲線C的交點(diǎn)為A，B．
（1）求直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求|PA|•|PB|．

Answer 1

分析 （1）由過點(diǎn)P（1，-2）的直線l的傾斜角為45°，可得直線l的參數(shù)方程．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ，即ρ²sin²θ=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程可得：t²-6$\sqrt{2}$t+4=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義即可得出．

解答 解：（1）∵過點(diǎn)P（1，-2）的直線l的傾斜角為45°，可得直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ，即ρ²sin²θ=2ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程：y²=2x．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程可得：t²-6$\sqrt{2}$t+4=0．
∴t₁t₂=4．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=4．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化公式、直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．