Question

已知橢圓的左焦點F₁，O為坐標原點，點P在橢圓上，點Q在橢圓的右準線上，若則橢圓的離心率為    ．

Answer 1

【答案】分析：法一：由題設條件及，可知PQ平行于x軸，且P點的橫坐標為，又知Q點在∠PF₁O角平分線上，從而得出四邊形PF₁F₂Q是一個菱形，從而得出P_F1=2c，PF₂=2a-2c，再由橢圓的第二定義建立等式解出離心率的值；
法二：由題設條件及，可知PQ平行于x軸，且P點的橫坐標為，又知Q點在∠PF₁O角平分線上由此，可用正切的2倍角公式建立方程求e
解答：解法一：∵橢圓的左焦點F₁，O為坐標原點，點P在橢圓上，點Q在橢圓的右準線上，，∴PQ平行于x軸，且P點的橫坐標為，
又知Q點在∠PF₁O角平分線上，故有∠PF₁O=2∠QF₁O
由于PQF₁F₂，故四邊形PF₁F₂Q是一個平行四邊形，結(jié)合對角線是角平分線知，四邊形PF₁F₂Q是菱形，可得P_F1=2c
由此得PF₂=2a-2c
由橢圓的第二定義知=，解得e=
故答案為
解法二：∵橢圓的左焦點F₁，O為坐標原點，點P在橢圓上，點Q在橢圓的右準線上，，∴PQ平行于x軸，且P點的橫坐標為，
又知Q點在∠PF₁O角平分線上，故有∠PF₁O=2∠QF₁O
令P（，y），Q（，y），故=，
又tan∠PF₁O=tan2∠QF₁O=，即①
又由及a²=b²+c²，P（，y），解得代入①整理得
e=
故答案為e=
點評：本題是一道向量與橢圓相結(jié)合的題目，由向量的相關(guān)性質(zhì)得到幾何中的位置關(guān)系以及數(shù)量關(guān)系，再由幾何中的相關(guān)公式進行變形運算，求得離心率，從解題過程中可以看到，本題的求解過程就是尋求關(guān)于a，c之間關(guān)系的一個過程．本題運算變形較繁，運算量過大，故答案不易做對．