【題目】已知橢圓的上頂點為A，右焦點為F，O是坐標原點，是等腰直角三角形，且周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線l與AF垂直，且交橢圓于B，C兩點，求面積的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）依題意求出，，的值，即可求出橢圓方程；

（2）由（1）可得直線的斜率，則可設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根的判別式求出參數(shù)的范圍，設(shè)，，利用韋達定理及點到線的距離公式表示出及點到直線的距離，則利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最值；

解：（1）在中，，，則，

因為是等腰直角三角形，且周長為，

所以，，，

得，，

因此橢圓的方程為.

（2）由（1）知，，則直線的斜率，

因為直線與垂直，所以可設(shè)直線的方程為，

代入，得，

則，解得，

所以.

設(shè)，，則，，.

又點到直線的距離，

所以，.

令，

則，

令，則或，

令，則或.

因此在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

因為，，，

所以當時，取得最大值，，

所以，

因此面積的最大值是.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線上.

（Ⅰ）求圓的標準方程；

（Ⅱ）設(shè)直線經(jīng)過點，且與圓相交所得弦長為，求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知動圓過定點，且在y軸上截得的弦MN的長為8．

（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；

（2）已知點，長為的線段PQ的兩端點在軌跡C上滑動．當軸是的角平分線時，求直線PQ的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線與橢圓相交于兩點，其中在第一象限，是橢圓上一點.

（1）記、是橢圓的左右焦點，若直線過，當到的距離與到直線的距離相等時，求點的橫坐標；

（2）若點關(guān)于軸對稱，當的面積最大時，求直線的方程；

（3）設(shè)直線和與軸分別交于，證明：為定值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在極坐標系中，已知曲線：和曲線：，以極點為坐標原點，極軸為軸非負半軸建立平面直角坐標系.

（1）求曲線和曲線的直角坐標方程；

（2）若點是曲線上一動點，過點作線段的垂線交曲線于點，求線段長度的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，過極點的兩射線、相互垂直，與曲線C分別相交于A、B兩點（不同于點O），且的傾斜角為銳角.

（1）求曲線C和射線的極坐標方程；

（2）求△OAB的面積的最小值，并求此時的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓經(jīng)過點,且離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點任作一條直線與橢圓交于不同的兩點.在軸上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知不等式|2x-1|+|2x-2|＜x+3的解集是A．

（Ⅰ）求集合A；

（Ⅱ）設(shè)x，y∈A，對任意a∈R，求證：xy（||x+a|-|y+a||）＜x2+y2．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，圓，點，過的直線與圓交于點，過做直線平行交于點．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過的直線與交于、兩點，若線段的中點為，且，求四邊形面積的最大值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案