Question

（2011•洛陽(yáng)一模）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立，記實(shí)數(shù)M的最大值是m．
（1）求m的值；
（2）解不等式|x-1|+|x-2|≤m．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，M≤

|a+b|+|a-b|

|a|

對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a（a≠0）和b恒成立，再由

|a+b|+|a-b|

|a|

≥2可
得，M≤2，由此可得m的值．
（2）由于|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，而數(shù)軸上

1

2

和

5

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于2，由此求得|x-1|+|x-2|≤2的解集．

解答：解：（1）不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立，
即M≤

|a+b|+|a-b|

|a|

對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a（a≠0）和b恒成立，
故只要左邊恒小于或等于右邊的最小值．…（2分）
因?yàn)閨a+b|+|a-b|≥|（a+b）+（a-b）|=2|a|，
當(dāng)且僅當(dāng)（a-b）（a+b）≥0時(shí)等號(hào)成立，
即|a|≥|b|時(shí)，

|a+b|+|a-b|

|a|

≥2 成立，
也就是

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值是2，
故M的最大值為2，即 m=2．…（5分）
（2）不等式|x-1|+|x-2|≤m即|x-1|+|x-2|≤2．
由于|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而數(shù)軸上

1

2

和

5

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于2，
故|x-1|+|x-2|≤2的解集為：{x|

1

2

≤x≤

5

2

}．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．