Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，判斷方程在區(qū)間上有無實(shí)根；

（3）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 內(nèi)無實(shí)數(shù)根；（3）.

【解析】試題分析：（2）把m的值代入后，求出f（1），求出x=1時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由點(diǎn)斜式寫出曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

（Ⅱ）代入m的值，把判斷方程f（x）=g（x）在區(qū)間（1，+∞）上有無實(shí)根轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）在（1，+∞）上有無零點(diǎn)問題，求導(dǎo)后利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案；

（Ⅲ）把f（x）和g（x）的解析式代入不等式，整理變形后把參數(shù)m分離出來，x∈（1，e]時(shí)，不等式f（x）﹣g（x）＜2恒成立，轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)m小于一個(gè)函數(shù)在（1，e]上的最小值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在（1，e]上的最小值．

試題解析：

（1）時(shí)， ， ， ，切點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴切線方程為

（2）時(shí)，令，

，∴在上為增函數(shù)，

又，所以在內(nèi)無實(shí)數(shù)根.

（3）恒成立，即恒成立.

又，則當(dāng)時(shí)， 恒成立，

令，只需小于的最小值.

，∵，∴，∴時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞減，∴在的最小值為，

則的取值范圍是.