已知點,直線,動點P到點F的距離與到直線的距離相等.
(1)求動點P的軌跡C的方程;(2)直線與曲線C交于A,B兩點,若曲線C上存在點D使得四邊形FABD為平行四邊形,求b的值.
(1);(2)或。
解析試題分析:(1)顯然動點的軌跡滿足拋物線的定義,故用定義去求軌跡方程;(2)法一:由題意知,
故設直線FD的方程為,與拋物線方程聯(lián)立可得點的橫坐標,再由拋物線的定義求出,
把直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,再由弦長公式求出的長,是用來表示的,然后令
可得關于的方程,從而求出的值;法二:同法一一樣先求出點的坐標,再把直線的方程與拋物
線方程聯(lián)立,利用韋達定理求出兩點的橫坐標和與積, 又因為四邊形FABD是平行四邊形,所以
,由此可得兩點的橫坐標的關系,結合韋達定理得到的結論找到一個關于的方程,
解方程即可,需根據(jù)點的坐標進行分情況討論。
試題解析:(1)依題意,動點P的軌跡C是以為焦點,為準線的拋物線,
所以動點P的軌跡C的方程為
(2)解法一:因為,故直線FD的方程為,
聯(lián)立方程組消元得:,
解得點的橫坐標為或 , 由拋物線定義知或
又由 消元得:。
設,,則且,
所以
因為FABD為平行四邊形,所以 所以或,
解得或,代入成立。
(2)解法二:因為,故直線FD的方程為
聯(lián)立方程組消元得:,解得或
故點或.
1)當時,設,
聯(lián)立方程組消元得(*)
根據(jù)韋達定理有①, ②
又因為四邊形是平行四邊形,所以,將坐標代入有 ③
代入①有,,再代入②有
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知曲線C上任意一點P到兩定點F1(-1,0)與F2(1,0)的距離之和為4.
(1)求曲線C的方程;
(2)設曲線C與x軸負半軸交點為A,過點M(-4,0)作斜率為k的直線l交曲線C于B、C兩點(B在M、C之間),N為BC中點.
(ⅰ)證明:k·kON為定值;
(ⅱ)是否存在實數(shù)k,使得F1N⊥AC?如果存在,求直線l的方程,如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知曲線E上任意一點P到兩個定點F1(-,0)和F2(,0)的距離之和為4.
(1)求曲線E的方程;
(2)設過點(0,-2)的直線l與曲線E交于C、D兩點,且·=0(O為坐標原點),求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設橢圓E:+=1(a>b>0)的上焦點是F1,過點P(3,4)和F1作直線PF1交橢圓于A,B兩點,已知A(,).
(1)求橢圓E的方程;
(2)設點C是橢圓E上到直線PF1距離最遠的點,求C點的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
圓的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個三角形,當該三角形面積最小時,切點為P(如圖),雙曲線過點P且離心率為.
(1)求的方程;
(2)橢圓過點P且與有相同的焦點,直線過的右焦點且與交于A,B兩點,若以線段AB為直徑的圓心過點P,求的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
橢圓的左、右焦點分別是F1,F(xiàn)2,過F2作傾斜角為的直線與橢圓的一個交點為M,若MF1垂直于x軸,則橢圓的離心率為______
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