Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸是直線x=

π

8

（1）求φ；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）試說明函數(shù)y=f（x）的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象如何變換而得到？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程，得函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸方程為2x+φ=

π

2

+kπ（k∈Z）．再將x=

π

8

代入得到關(guān)于φ的等式，結(jié)合-π＜φ＜0可得φ的值；
（2）由（1）得f（x）=sin（2x-

3π

4

），由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式，建立關(guān)于x的不等式，解之即可得到y(tǒng)=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（3）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵x=

π

8

是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，
∴sin（2×

π

8

+φ）=±1，
∴

π

4

+φ=

π

2

+kπ（k∈Z），
∵-π＜φ＜0，∴φ=-

3

4

π．
（2）由（1）知，∴φ=-

3

4

π，
∴f(x)=sin(2x-

3π

4

)，
令-

π

2

+2kπ≤2x-

3π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
解得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z
故函數(shù)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是{x|kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z}．
（3）把函數(shù)y=sinx的圖象向右平移

3π

4

個(gè)單位，
再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="fdljznb" class="MathJye">

1

2

倍，即可可得 f（x）=sin（2x-

3π

4

）的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，求函數(shù)的解析式并求單調(diào)增區(qū)間．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性以圖象的對(duì)稱性等知識(shí)，屬于中檔題．