Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

），給出以下四個(gè)論斷：
①它的圖象關(guān)于直線x=

π

12

對(duì)稱；        
②它的周期為π；
③它的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

3

，0）對(duì)稱；      
④在區(qū)間[-

π

6

，0]上是增函數(shù)．
以其中兩個(gè)論斷作為條件，余下兩個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)命題：
（1）

①③⇒②④

； （2）

①②⇒③④

．

Answer 1

分析：（1）由①得ω×

π

12

+∅=kπ+

π

2

； 再由③得ω

π

3

+∅=kπ，k∈z，以及ω、∅的范圍，求得ω、∅的值，從而得
函數(shù)解析式，從而求出周期和單調(diào)增區(qū)間，可得②④正確，故得①③⇒②④．
（2）由②可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅），再由①得  2×

π

12

+∅=kπ+

π

2

，k∈z，結(jié)合∅的范圍可得φ=

π

3

，
故函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

3

），由此推出③④成立．

解答：解：（1）：①③⇒②④．
由①得ω×

π

12

+∅=kπ+

π

2

，k∈z．  由③得ω

π

3

+∅=kπ，k∈z．
又∵ω＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

，故有ω=2，∅=

π

3

．
∴f(x)=sin(2x+

π

3

)，其周期為π．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，可得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

．
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ-

5π

12

， kπ+

π

12

]．
∵[-

π

6

，0]⊆[-

5π

12

，

π

12

]，∴f（x）在區(qū)間[-

π

6

，0]上是增函數(shù)，
故可得 ①③⇒②④．
（2）：還可①②⇒③④．
由②它的周期為π，可得ω=2，故 f（x）=sin（2x+∅）．
由①得  2×

π

12

+∅=kπ+

π

2

，k∈z．再由 -

π

2

＜?＜

π

2

可得φ=

π

3

，故函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

3

）．
顯然它的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

3

，0）對(duì)稱，由（1）可得 f（x）在區(qū)間[-

π

6

，0]上是增函數(shù)．
故可得 ①②⇒③④．
故答案為 （1）：①③⇒②④；  （2）：①②⇒③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的周期性，單調(diào)性，對(duì)稱性，以及學(xué)生構(gòu)造命題拓展問題的能力，屬中檔題．