Question

已知函數(shù)f（x）=sinωx•cos（ωx+

π

6

）（ω＞0）圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，根據(jù)f（x）=sinωx•cos（ωx+

π

6

），得到f（x）=

1

2

sin（2ωx+

π

6

）-

1

4

，然后，借助于周期公式進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)x∈[0，

π

2

]，得到（2x+

π

6

）∈[

π

6

，

7π

6

]，然后，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性確定最小值．

解答： 解：（1）f（x）=sinωx•cos（ωx+

π

6

）
=sinωx•（

3

2

cosωx-

1

2

sinωx）
=

3

2

sinωxcosωx-

1

2

sin²ωx
=

3

4

sin2ωx+

1

4

cos2ωx-

1

4

=

1

2

sin（2ωx+

π

6

）-

1

4

∴f（x）=

1

2

sin（2ωx+

π

6

）-

1

4

，
∵函數(shù)f（x）圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為

π

2

．
∴T=π，
∴

2π

2ω

=π，
∴ω=1，
∴ω的值1；
（2）根據(jù)（1），得
f（x）=

1

2

sin（2x+

π

6

）-

1

4

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x∈[0，π]．
∴（2x+

π

6

）∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上的最小值-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二倍角公式、三角恒等變換公式、輔助角公式等知識(shí)，屬于中檔題．