Question

已知函數(shù)f（x）=|x|-|x-3|．
（Ⅰ）解關(guān)于x的不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）若存在x₀∈R，使得關(guān)于x的不等式m≤f（x₀）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把關(guān)于x的不等式f（x）≥1轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個不等式組，分別求得每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）利用絕對值三角不等式求得f（x）的最大值，即可求得m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）原不等式等價(jià)于①：

x≤0 -x+(x-3)≥1

，或②：

0＜x＜3 x+(x-3)≥1

，或③：

x≥3 x+(x-3)≥1

．
不等式組①無解；解不等式組②得：2≤x＜3；解不等式組③得：x≥3．
所以原不等式的解集為[2，+∞）．
（Ⅱ）∵存在x₀∈R，使得關(guān)于x的不等式m≤f（x₀）成立，∴m≤f_max（x）．
∵f（x）=|x|-|x-3|≤|x-（x-3）|=3，所以 f_max（x）=3，所以m≤3，即m∈（-∞，3]．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．