【題目】已知a>0,b∈R,函數(shù)f(x)=4ax2﹣2bx﹣a+b的定義域?yàn)閇0,1].
(1)當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求b的取值范圍;
(2)設(shè)f(x)的最大值和最小值分別為M和m,求證:M+m>0.

【答案】
(1)解:由題意可得f(x)=4x2﹣2bx﹣1+b在[0,1]內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),

即有 即為 ,

解得1≤b<2或2<b≤3


(2)證明:f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=

當(dāng) >1時(shí),區(qū)間[0,1]為減區(qū)間,可得M=f(0)=b﹣a,

m=f(1)=3a﹣b,則M+m=2a>0;

當(dāng) <0時(shí),區(qū)間[0,1]為增區(qū)間,可得m=f(0)=b﹣a,

M=f(1)=3a﹣b,則M+m=2a>0;

當(dāng)0≤ ≤1時(shí),區(qū)間[0, ]為減區(qū)間,[ ,1]為增區(qū)間,

可得m=f( )=

若f(0)≤f(1),即b≤2a,可得M=f(1)=3a﹣b,

M+m= =a>0;

若f(0)>f(1),即2a<b≤4a,可得M=f(0)=b﹣a,

M+m= =

由于2a<b≤4a,可得M+m∈(a,2a],即為M+m>0.

綜上可得M+m>0恒成立


【解析】(1)由題意可得f(0)≥0,f(1)≥0,△>0,0< <1,解不等式即可得到所求范圍;(2)求出對(duì)稱(chēng)軸,討論對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間[0,1]的關(guān)系,可得最值,即可證明M+m>0.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)的最值及其幾何意義(利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲担焕脠D象求函數(shù)的最大(。┲担焕煤瘮(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,F(xiàn)1 , F2分別是橢圓C: =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),且焦距為2 ,動(dòng)弦AB平行于x軸,且|F1A|+|F1B|=4.

(1)求橢圓C的方程;
(2)若點(diǎn)P是橢圓C上異于點(diǎn) 、A,B的任意一點(diǎn),且直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N,若MF2、NF2的斜率分別為k1、k2 , 求證:k1k2是定值.

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(1)寫(xiě)出f(6)的值;
(2)當(dāng)n≥6時(shí),寫(xiě)出f(n)的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

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【題目】如圖,斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB=90°,點(diǎn)B1在底面內(nèi)的射影恰好是BC的中點(diǎn),且BC=CA=2.
(1)求證:平面ACC1A1⊥平面B1C1CB;
(2)若二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值為 ,求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.

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【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,AB=AC=PB=PC=10,PA=8,BC=12,點(diǎn)M在平面PBC內(nèi),且AM=7,設(shè)異面直線AM與BC所成角為α,則cosα的最大值為(

A.
B.
C.
D.

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【題目】《數(shù)書(shū)九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作,全書(shū)十八卷共八十一個(gè)問(wèn)題,分為九類(lèi),每類(lèi)九個(gè)問(wèn)題,《數(shù)書(shū)九章》中記錄了秦九昭的許多創(chuàng)造性成就,其中在卷五“三斜求職”中提出了已知三角形三邊a,b,c求面積的公式,這與古希臘的海倫公式完成等價(jià),其求法是:“以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上,以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實(shí),一為從隅,開(kāi)平方得積.”若把以上這段文字寫(xiě)成公式,即S= ,現(xiàn)有周長(zhǎng)為10+2 的△ABC滿足sinA:sinB:sinC=2:3: ,則用以上給出的公式求得△ABC的面積為(
A.
B.
C.
D.12

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(1)求橢圓的方程;
(2)直線l過(guò)右焦點(diǎn) (不與x軸重合)且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B,在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)P(x0 , 0),使得 的值為定值?若存在,寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)(不必求出定值);若不存在,說(shuō)明理由.

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