(04年全國卷Ⅱ理)(14分)

已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.

(1)求函數(shù)f(x)的最大值;

(2)設(shè)0<a<b,證明:0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

解析:(I)解:函數(shù)f(x)的定義域是(-1,∞),(x)=.令(x)=0,解得x=0,當(dāng)-1<x<0時(shí), (x)>0,當(dāng)x>0時(shí),(x)<0,又f(0)=0,故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最大值,最大值是0

(II)證法一:g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=a.

由(I)的結(jié)論知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x≠0),由題設(shè)0<a<b,得,因此,.

所以a>-.

 a<a

綜上0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

(II)證法二:g(x)=xlnx,,設(shè)F(x)= g(a)+g(x)-2g(),

當(dāng)0<x<a時(shí)因此F(x)在(0,a)內(nèi)為減函數(shù)當(dāng)x>a時(shí)因此F(x)在(a,+∞)上為增函數(shù)從而,當(dāng)x=a時(shí),F(xiàn)(x)有極小值F(a)因?yàn)镕(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g().

設(shè)G(x)=F(x)-(x-a)ln2,則當(dāng)x>0時(shí),,因此G(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),因?yàn)镚(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

 

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)求這名同學(xué)回答這三個問題的總得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望;

(Ⅱ)求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分(即≥0)的概率.

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已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=2an +(-1)n,n≥1.

 

⑴寫出數(shù)列{an}的前3項(xiàng)a1,a2,a3;

⑵求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

⑶證明:對任意的整數(shù)m>4,有.

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(04年全國卷一.理2)已知函數(shù)(   )

A.b B.-b             C.              D.-

 

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(04年全國卷三.理15)已知函數(shù)是奇函數(shù),則當(dāng)時(shí),,設(shè)的反函數(shù)是,則         

 

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