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【題目】如圖,ABCD是邊長為3的正方形,DE平面ABCD,AFDE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成角為60°.

(1)求二面角F-BE-D的余弦值;

(2)設點M是線段BD上一個動點,試確定點M的位置,使得AM平面BEF,并證明你的結論.

【答案】(1);(2)見解析

【解析】

(1)以D為原點建立空間直角坐標系,然后結合條件得到相關點的坐標,進而求得平面BEF的法向量和平面BDE的法向量,求出兩向量夾角的余弦值,再結合圖形可得二面角的余弦值.(2)設點M(t,t,0),于是得=(t-3,t,0),由AM平面BEF可得,解得,故得點M坐標為(2,2,0),BM=BD,即為所求.

(1)因為DA,DC,DE兩兩垂直,所以建立空間直角坐標系D-xyz如圖所示.

因為DE⊥平面ABCD,

所以BE與平面ABCD所成角為∠DBE,故∠DBE =60°,

所以.

由AD=3可知DE=3,AF=.

則A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0),

所以=(0,-3,),=(3,0,-2),

設平面BEF的法向量為,

令z=,則.

同理得平面BDE的法向量為,(也可證AC⊥平面BDE,得即為法向量).

所以cos<,>=.

由圖形得二面角F-BE-D為銳角,

所以二面角F-BE-D的余弦值為.

(2)點M是線段BD上一個動點,設M(t,t,0).

=(t-3,t,0),

因為AM∥平面BEF,

所以,

解得t=2.

此時,點M坐標為(2,2,0),BM=BD,符合題意.

所以當BM=BD 時,滿足AM平面BEF.

練習冊系列答案
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(1)如果從第8行第4列的數開始向右讀,請你依次寫出最先檢測的3件產品的編號;

(下面摘取了隨機數表的第7~9行)

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

(2)抽取的100件產品的安全性能和環(huán)保性能的質量檢測結果如下表:

檢測結果分為優(yōu)等、合格、不合格三個等級,橫向和縱向分別表示安全性能和環(huán)保性能。若在該樣本中,產品環(huán)保性能是優(yōu)等的概率為,求,的值。

件數

環(huán)保性能

優(yōu)等

合格

不合格

安全性能

優(yōu)等

6

20

5

合格

10

18

6

不合格

4

(3)已知,,求在安全性能不合格的產品中,環(huán)保性能為優(yōu)等的件數比不合格的件數少的概率。

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【題目】已知某校6個學生的數學和物理成績如下表:

學生的編號

1

2

3

4

5

6

數學

89

87

79

81

78

90

物理

79

75

77

73

72

74

(1)若在本次考試中,規(guī)定數學在80分以上(包括80分)且物理在75分以上(包括75分)的學生為理科小能手.從這6個學生中抽出2個學生,設表示理科小能手的人數,求的分布列和數學期望;

(2)通過大量事實證明發(fā)現,一個學生的數學成績和物理成績具有很強的線性相關關系,在上述表格是正確的前提下,用表示數學成績,用表示物理成績,求的回歸方程.

參考數據和公式:,其中,.

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性別

選考方案確定情況

物理

化學

生物

歷史

地理

政治

男生

選考方案確定的有8

8

8

4

2

1

1

選考方案待確定的有6

4

3

0

1

0

0

女生

選考方案確定的有10

8

9

6

3

3

1

選考方案待確定的有6

5

4

1

0

0

1

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(Ⅲ)從選考方案確定的8名男生中隨機選出2設隨機變量,

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