Question

【題目】如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．

現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min，在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再?gòu)腂勻速步行到C．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min，山路AC長(zhǎng)為1 260 m，經(jīng)測(cè)量，cos A＝，cos C＝．

（1）求索道AB的長(zhǎng)；

（2）問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

（3）為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

【答案】（1）1 040 m；（2）；（3）．

【解析】（1）在中，因?yàn)閏os A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝．

從而sin B＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C＝．

由正弦定理，可得．

所以索道AB的長(zhǎng)為1 040 m．（3分）

（2）假設(shè)乙出發(fā)t 分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了（100＋50t）m，乙距離A處130t m，

所以由余弦定理，得，

因?yàn)?/span>，即0≤t≤8，所以當(dāng)分鐘時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．（6分）

（3）由正弦定理，得．

乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了50×（2＋8＋1）＝550（m），還需走710 m才能到達(dá)C．

設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得，解得，

所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在（單位：m/min）范圍內(nèi)．（10分）