Question

設數(shù)列{a_n}滿足：a₁=5，a_n+1+4a_n=5，（n∈N^*）
（I）是否存在實數(shù)t，使{a_n+t}是等比數(shù)列？
（Ⅱ）設數(shù)列b_n=|a_n|，求{b_n}的前2013項和S₂₀₁₃．

Answer 1

（I）由a_n+1+4a_n=5，得a_n+1=-4a_n+5，
令a_n+1+t=-4（a_n+t），…（2分）
得a_n+1=-4a_n-5t，則-5t=5，∴t=-1…（4分）
∴a_n+1-1=-4（a_n-1），
又a₁=5，∴a₁-1=4，∴{a_n-1}是首項為4，公比為-4的等比數(shù)列，
∴存在這樣的實數(shù)t=-1，使{a_n+t}是等比數(shù)列．…（6分）
（II）由（I）得a_n-1=4•（-4）^n-1，∴a_n=1+4•（-4）^n-1．…（7分）
∴b_n=|a_n|=

1+4n，n為奇數(shù) 4n-1，n為偶數(shù)

…（8分）
∴S₂₀₁₃=b₁+b₂+…+b_n=（1+4）+（4²-1）+…+（1+4²⁰¹³）=4+4²+…+4²⁰¹³+1=

4-42014

1-4

+1=

42014-1

3

…（12分）