【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB與△PAD都是等邊三角形.

(1)證明:PB⊥CD;
(2)求二面角A﹣PD﹣C的大。

【答案】
(1)證明:取BC的中點E,連接DE,可得四邊形ABED是正方形

過點P作PO⊥平面ABCD,垂足為O,連接OA、OB、OD、OE

∵△PAB與△PAD都是等邊三角形,∴PA=PB=PD,可得OA=OB=OD

因此,O是正方形ABED的對角線的交點,可得OE⊥OB

∵PO⊥平面ABCD,得直線OB是直線PB在內(nèi)的射影,∴OE⊥PB

∵△BCD中,E、O分別為BC、BD的中點,∴OE∥CD,可得PB⊥CD;


(2)解:由(1)知CD⊥PO,CD⊥PB

∵PO、PB是平面PBD內(nèi)的相交直線,∴CD⊥平面PBD

∵PD平面PBD,∴CD⊥PD

取PD的中點F,PC的中點G,連接FG,

則FG為△PCD有中位線,∴FG∥CD,可得FG⊥PD

連接AF,由△PAD是等邊三角形可得AF⊥PD,∴∠AFG為二面角A﹣PD﹣C的平面角

連接AG、EG,則EG∥PB

∵PB⊥OE,∴EG⊥OE,

設(shè)AB=2,則AE=2 ,EG= PB=1,故AG= =3

在△AFG中,F(xiàn)G= CD= ,AF= ,AG=3

∴cos∠AFG= =﹣ ,得∠AFG=π﹣arccos ,

即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos


【解析】(1)取BC的中點E,連接DE,過點P作PO⊥平面ABCD于O,連接OA、OB、OD、OE.可證出四邊形ABED是正方形,且O為正方形ABED的中心.因此OE⊥OB,結(jié)合三垂線定理,證出OE⊥PB,而OE是△BCD的中位線,可得OE∥CD,因此PB⊥CD;(2)由(1)的結(jié)論,證出CD⊥平面PBD,從而得到CD⊥PD.取PD的中點F,PC的中點G,連接FG,可得FG∥CD,所以FG⊥PD.連接AF,可得AF⊥PD,因此∠AFG為二面角A﹣PD﹣C的平面角,連接AG、EG,則EG∥PB,可得EG⊥OE.設(shè)AB=2,可求出AE、EG、AG、AF和FG的長,最后在△AFG中利用余弦定理,算出∠AFG=π﹣arccos ,即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大。
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)和共線向量與共面向量的相關(guān)知識點,需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行;向量共線的充要條件:對于空間任意兩個向量,,的充要條件是存在實數(shù),使才能正確解答此題.

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A. B. C. 2 D.

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(1) AC⊥BE.
(2) 若P為AA1上的一點,則P到平面BEF的距離為.
(3) 三棱錐A-BEF的體積為定值.
(4) 在空間與DD1,AC,B1C1都相交的直線有無數(shù)條.
(5) 過CC1的中點與直線AC1所成角為40并且與平面BEF所成角為50的直線有2條.
A.0
B.1
C.2
D.3

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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.
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【題目】如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F分別為AC、DC的中點.

(1)求證:EF⊥BC;
(2)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值.

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【題目】如圖,在三棱柱中,平面,分別為的中點,且

(1)證明;

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乙:7.6,8.0,8.2,8.5,9.2,9.5

(1)根據(jù)以上的莖葉圖,不用計算說一下甲乙誰的方差大,并說明誰的成績穩(wěn)定;

(2)從甲、乙運動員高于8.1分成績中各隨機抽取1次成績,求甲、乙運動員的成績至少有一個高于9.2分的概率.

(3)經(jīng)過對甲、乙運動員若干次成績進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)甲運動員成績均勻分布在[7.5,9.5]之間,乙運動員成績均勻分布在[7.0,10]之間,現(xiàn)甲、乙比賽一次,求甲、乙成績之差的絕對值小于0.5分的概率.

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