Question

在直角坐標(biāo)平面xoy上 的一列點(diǎn)A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），…，A_n（n，a_n），…，簡記為{A_n}．若由bn=

AnAn+1

•

j

構(gòu)成的數(shù)列{b_n}滿足b_n+1＞b_n（其中

j

是y軸正方向同向的單位向量），則稱{A_n}為T點(diǎn)列．
（1）判斷A1(1，1)，A2(2，

1

2

)，A3(3，

1

3

)…，An(n，

1

n

)，…是否為T點(diǎn)列；
（2）若{a_n}是等差數(shù)列，判斷點(diǎn)列A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），…，A_n（n，a_n），…是否為T點(diǎn)列，并說明理由；
若{a_n}是等比數(shù)列，判斷點(diǎn)列A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），…，A_n（n，a_n），…是否為T點(diǎn)列，并說明理由；
（3）若{A_n}為T點(diǎn)列，且點(diǎn)A₂在點(diǎn)A₁的右上方，任取其中連續(xù)三點(diǎn)A_K，A_K+1，A_K+2，判斷△A_KA_K+1A_K+2的形狀（銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形），并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得b_n=

AnAn+1

•

j

=-

1

n(n+1)

，再驗(yàn)證數(shù)列{b_n}是否滿足滿足b_n+1＞b_n，即可得到結(jié)論．
（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），求得b_n=

AnAn+1

•

j

=d即可判斷；設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），可得b_n=

AnAn+1

•

j

=a_n+1-a_n，從而可得結(jié)論；
（3）用所給的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)造三個(gè)向量，寫出三個(gè)向量的坐標(biāo)，問題轉(zhuǎn)化為向量夾角的大小問題，判斷出兩個(gè)向量的數(shù)量積小于零，得到兩個(gè)向量所成的角是鈍角，得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵A_n（n，

1

n

），A_n+1（n+1，

1

n+1

），
∴

AnAn+1

=（1，-

1

n(n+1)

），
又∵

j

=（0，1），∴b_n=

AnAn+1

•

j

=-

1

n(n+1)

，
∴b_n+1=-

1

(n+1)(n+2)

，∴b_n+1-b_n=

2

n(n+1)(n+2)

∴b_n+1＞b_n，∴{A_n}是T點(diǎn)列；
（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為d
∵A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），
∴

AnAn+1

=（1，a_n+1-a_n）=（1，d），
又∵

j

=（0，1），∴b_n=

AnAn+1

•

j

=d，∴{A_n}不是T點(diǎn)列；
設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
∵A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），
∴

AnAn+1

=（1，a_n+1-a_n），
又∵

j

=（0，1），∴b_n=

AnAn+1

•

j

=a_n+1-a_n，
∴b_n+1=a_n+2-a_n+1=qb_n，
∴q＞1時(shí)，b_n+1＞b_n，∴{{A_n}是T點(diǎn)列；q≤1時(shí)，b_n+1≤b_n，∴{{A_n}不是T點(diǎn)列；
（3）在△A_KA_K+1A_K+2中，A_k+1A_k=（-1，a_k-a_k+1），A_k+1A_k+2=（1，a_k+2-a_k+1），
A_k+1A_k•A_k+1A_k+2=-1+（a_k+2-a_k+1）（a_k-a_k+1）
∵點(diǎn)A₂在點(diǎn)A₁的右上方，∴b₁=a₂-a₁＞0，
∵{A_n}為T點(diǎn)列，
∴b_n≥b₁＞0，
∴（a_k+2-a_k+1）（a_k-a_k+1）=-b_k+1b_k＜0，則 A_k+1A_k•A_k+1A_k+2＜0
∴∠A_KA_K+1A_K+2為鈍角，
∴△A_KA_K+1A_K+2為鈍角三角形．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列和不等式的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意T點(diǎn)列的理解和合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．