在直角坐標平面xOy上的一列點A1(1,a1),?A2(2,a2),?…,?An(n,an),?…,簡記為{An}、若由bn=
AnAn+1
j
構(gòu)成的數(shù)列{bn}滿足bn+1>bn,n=1,2,…,其中
j
為方向與y軸正方向相同的單位向量,則稱{An}為T點列,
(1)判斷A1( 1,  1),?A2( 2,  
1
2
),?A3( 3,  
1
3
),?…,?
An( n, 
1
n
 ),?…
,是否為T點列,并說明理由;
(2)若{An}為T點列,且點A2在點A1的右上方、任取其中連續(xù)三點Ak、Ak+1、Ak+2,判斷△AkAk+1Ak+2的形狀(銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形),并予以證明;
(3)若{An}為T點列,正整數(shù)1≤m<n<p<q滿足m+q=n+p,求證:
AnAq
j
AmAp
j
分析:(1)根據(jù)所給的n個點的坐標,看出數(shù)列{an}的通項,把數(shù)列{an}的通項代入新定義的數(shù)列{bn},驗證數(shù)列{bn}滿足bn+1>bn,
得到{An}是T點列的結(jié)論.
(2)用所給的三個點構(gòu)造三個向量,寫出三個向量的坐標,問題轉(zhuǎn)化為向量夾角的大小問題,判斷出兩個向量的數(shù)量積小于零,得到兩個向量所成的角是鈍角,得到結(jié)果.
(3)本題是要求判斷兩組向量的數(shù)量積的大小,根據(jù)兩個數(shù)列各自的項之間的大小關(guān)系,得到向量的數(shù)量積之間的關(guān)系,本題不用做具體的數(shù)字運算,只是一個推理過程.
解答:解:(1)由題意可知an=
1
n
,
bn=
1
n+1
-
1
n
=
-1
n(n+1)
,
顯然有bn+1>bn
∴{An}是T點列
(2)在△AkAk+1Ak+2中,
Ak+1Ak
=(-1,ak-ak+1),
Ak+1Ak+2
=(1,ak+2-ak+1)
,
Ak+1Ak
Ak+1Ak+2
=-1+(ak+2-ak+1)(ak-ak+1)

∵點A2在點A1的右上方,
∴b1=a2-a1>0,
∵{An}為T點列,
∴bn≥b1>0,
∴(ak+2-ak+1)(ak-ak+1)=-bk+1bk<0,則
Ak+1Ak
Ak+1Ak+2
<0

∴∠AkAk+1Ak+2為鈍角,
∴△AkAk+1Ak+2為鈍角三角形、
(3)∵1≤m<n<p<q,m+q=n+p,
∴q-p=n-m>0
①aq-ap=aq-aq-1+aq-1-aq-2++ap+1-ap=bq-1+bq-2++bp≥(q-p)bp
同理an-am=bn-1+bn-2++bm≤(n-m)bn-1、③
由于{An}為T點列,于是bp>bn-1,④
由①、②、③、④可推得aq-ap>an-am,
∴aq-an>ap-am,
AnAq
j
AmAp
j
點評:本題表面上是對數(shù)列的考查,實際上考查了兩個向量數(shù)量積,數(shù)量積貫穿始終,但是這步工作做完以后,題目的重心轉(zhuǎn)移到比較大小的問題,是一個大型的綜合題.可以作為高考卷的壓軸題.
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在直角坐標平面XOY上的一列點A1(1,a1),A2(2,a2),A3(3,a3),…An(n,an),…簡記為{An},若由bn=
AnAn+1
j
構(gòu)成的數(shù)列{bn}滿足bn+1>bn,(n=1,2,…,n∈N) (其中
j
是與y軸正方向相同的單位向量),則稱{An}為“和諧點列”.
(1)試判斷:A1(1,1),A2(2,
1
2
)
,A3(3,
1
22
)
An(n,
1
2n-1
)
…是否為“和諧點列”?并說明理由.
(2)若{An}為“和諧點列”,正整數(shù)m,n,p,q滿足:≤m<n<p<q1,且m+q=n+p.求證:aq+am>an+ap

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在直角坐標平面xOy內(nèi),已知向量
OA
=(1,5),
OB
=(7,1),
OM
=(1,2),P為滿足條件
OP
=t
OM
(t∈R)的動點.當
PA
PB
取得最小值時,求:(1)向量
OP
的坐標;(2)cos∠APB的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在直角坐標平面xoy上 的一列點A1(1,a1),A2(2,a2),…,An(n,an),…,簡記為{An}.若由bn=
AnAn+1
j
構(gòu)成的數(shù)列{bn}滿足bn+1>bn(其中
j
是y軸正方向同向的單位向量),則稱{An}為T點列.
(1)判斷A1(1,1),A2(2,
1
2
),A3(3,
1
3
)…,An(n,
1
n
),…
是否為T點列;
(2)若{an}是等差數(shù)列,判斷點列A1(1,a1),A2(2,a2),…,An(n,an),…是否為T點列,并說明理由;
若{an}是等比數(shù)列,判斷點列A1(1,a1),A2(2,a2),…,An(n,an),…是否為T點列,并說明理由;
(3)若{An}為T點列,且點A2在點A1的右上方,任取其中連續(xù)三點AK,AK+1,AK+2,判斷△AKAK+1AK+2的形狀(銳角三角形,直角三角形,鈍角三角形),并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•閔行區(qū)三模)規(guī)定:直線l到點F的距離即為點F到直線l的距離,在直角坐標平面xoy中,已知兩定點F1(-1,0)與F2(1,0)位于動直線l:ax+by+c=0的同側(cè),設(shè)集合P={l|點F1與點F2到直線l的距離之和等于2},Q={(x,y)|(x,y)∉l,l∈P}.則由Q中的所有點所組成的圖形的面積是
π
π

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