Question

定義在R上的函數(shù)（x），其圖象是連續(xù)不斷的，如果存在非零常數(shù)λ（λ∈R），使得對(duì)任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），則稱y=f（x）為“倍增函數(shù)”，λ為“倍增系數(shù)”，下列命題為假命題的是（　�。�

• A、若函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=-2的函數(shù)，則y=f（x）至少有1個(gè)零點(diǎn)
• B、函數(shù)f（x）=2x+1是倍增函數(shù)且倍增系數(shù)λ=1
• C、函數(shù)f（x）=e^-x是倍增函數(shù)，且倍增系數(shù)λ∈（0，1）
• D、若函數(shù)f（x）=sin2ωx（ω＞0）是倍增函數(shù)，則ω=

  2kπ

  2

  （k∈N⁺）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，利用“倍增函數(shù)”的定義f（x+λ）=λf（x），對(duì)題目中的選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷，即可得出正確的答案．

解答： 解：對(duì)于A，∵函數(shù)y=f（x）是倍增系數(shù)λ=-2的倍增函數(shù)，∴f（x-2）=-2f（x），
當(dāng)x=0時(shí)，f（-2）+2f（0）=0，若f（0）、f（-2）任意一個(gè)為0，則函數(shù)f（x）有零點(diǎn)；
若f（0）、f（-2）均不為0，則f（0）、f（-2）異號(hào)，由零點(diǎn)存在性定理得，
在區(qū)間（-2，0）內(nèi)存在x₀，使得f（x₀）=0，即y=f（x）至少存在1個(gè)零點(diǎn)，
∴A正確；
對(duì)于B，∵f（x）=2x+1是倍增函數(shù)，∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），∴λ=

2x+1

2x-1

≠1，
∴B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，∵f（x）=e^-x是倍增函數(shù)，∴e^-（x+λ）=λe^-x，
∴

1

exeλ

=

λ

ex

，∴λ=

1

eλ

∈（0，1），
∴C正確；
對(duì)于D，∵f（x）=sin2ωx（ω＞0）是倍增函數(shù)，
∴sin[2ω（x+λ）]=λsin2ωx，∴ω=

kπ

2

（k∈N^*），
∴D正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義的函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用的問題，解題時(shí)應(yīng)理解新定義的內(nèi)容是什么，是綜合性題目．