【題目】設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,且.

(1)求的求值范圍;

(2)求證:.

【答案】(1);(2)見(jiàn)解析.

【解析】分析:(1)要保證函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),,可分析函數(shù)的單調(diào)性然后根據(jù)題意找出兩個(gè)不同兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的條件即可,對(duì)單調(diào)性的討論,注意a的影響;(2)由(1)可知,,是方程)的兩個(gè)不等實(shí)根,也是方程的兩個(gè)不等實(shí)根,也是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),且,故再構(gòu)造函數(shù),只需分析出單調(diào)性即可得證.

(1)解法一:.

①當(dāng)時(shí),,上是增函數(shù),不可能有兩個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)時(shí),由 ,解得,所以

,則,所以上是減函數(shù);若,則,所以上是增函數(shù).所以當(dāng)時(shí),取得極小值,也是它的最小值.

.

因?yàn)?/span>,,所以若使有兩個(gè)零點(diǎn),只需,解得.

綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.

解法二:題意方程有兩個(gè)不等實(shí)根,易知其中,所以題意方程有兩個(gè)不等實(shí)根函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).

設(shè),則,所以當(dāng)時(shí),,所以上是減函數(shù);當(dāng),所以上是增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),取得極小值.

又因?yàn)?/span>,,,,在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出函數(shù)的圖象,如圖所示,觀察圖形可知當(dāng)時(shí),二者有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

(2)證明:由(1)可知,,是方程)的兩個(gè)不等實(shí)根,也是方程的兩個(gè)不等實(shí)根,也是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),且.

因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時(shí),,所以上是減函數(shù);當(dāng)時(shí),,所以上是增函數(shù).

設(shè),則 ,所以當(dāng)時(shí),

,所以上是減函數(shù),所以 ,即,即,即.

又因?yàn)?/span>,所以,所以.

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